indukcja xbc: Na mocy indukcji matematycznej udowodnij: ∀n ∊ N a. n³ − n dzieli sie przez 6 b. n⁵ − n dzieli sie przez 5 c. (n−1)n(n+1)(n+2) dzieli sie przez 12 jak to zrobic za pomoca indukcji bo nie chodzi tu raczej o udowodnienie z rozkladu ze jest to iloraz 3 kolejnych liczb naturalnych(w przypadku podpunktu a) itp. prosze o pomoc

Aneta: a. dla n=1 mamy 1−1=0 zał. induk. n³−n=6t teza induk. (n+1)³−(n+1)=n³+3n²+3n+1−n−1=n³+3n²+2n=n(n²+3n+2)=n(n+2)(n+1)

xbc: a w b?

Aneta: A={n⁵−n:n ∊ N} A∊1 1−1=0 założenie indukcyjne n⁵−n=5t teza indukcyjna (n+1)⁵−n−1=n⁵+5n⁴+10n³+10n²+5n+1−n−1=n⁵+5n⁴+10n³+10n²+4n =n(n⁴+5n³+10n²+10n+4)=n(n+1)(n+2)(n²+2n+2)

Aneta: (n−1)n(n+1)(n+2) 1 ∊A 0*1*2*3=0 założenie indukcyjne (n−1)n(n+1)(n+2)=12t teza indukcyjna n*(n+1)(n+2)(n+3) dla n>1

nnme: b) dla n = 1 1 − 1 = 0 n(n⁴ − 1) = n(n²+1)(n² − 1) = n(n−1)(n+1)(n² + 1) dla n+1 mamy: n(n+1)(n+2)(n² + 2n + 2 ) n moze byc postaci 5k , 5k+1 , 5k+2 , 5k+3, 5k +4 n = 5k to n dzieli sie przez 5 n = 5k+1 to n² + 2n + 2 dzieli sie przez 5 n = 5k + 2 to n² + 2n + 2 dzieli sie przez 5 n = 5k+3 n+ 2 dzieli sie przez 5 n = 5k + 4 to n+1 dzieli sie przez 5