Wartość bezwzględna i parametr Karol: Dla jakich wartości parametru m nierówność m|x+1| + m² − m − 2 < 0 jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą x?

pigor: ... , wydaje mi się, że warunki zadania spełnia układ nierówności: (*) m ≤ 0 i m²−m−2<0]] , gdzie m²−2*¹₂m+¹₄< ⁹₄ ⇔ ⇔ (m−¹₂)²< ⁹₄ ⇔ |m−¹₂|< ³₂ ⇔ −³₂< m−¹₂< ³₂ ⇔ ⇔ −1 < m< 2 , a stąd i z (*) ⇔ −1< m ≤ 0 ⇔ m∊(−1;0] . ...

Karol: zupelnie nie rozumiem tego rozwiazania....

pigor: ..., przepraszam, to fakt "przesadziłem" z tą nierównością m²−m−2< 0, bo np. m²−m−2< 0 ⇔ m²+m−2m−2<0 ⇔ m(m+1)−2(m+1)< 0 ⇔ ⇔ (m+1)(m−2) < 0 ⇔ 1< m<2 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− a może powiesz mi, czy moja odpowiedź ci się zgadza z książkową

pigor: ..., bo ja też mam mały dylemat z tą nierównością . ...

Karol: niestety jest to zadanie, do którego odpowiedzi nie posiadam ale zrobić muszę no wiec teraz rozumiem tą nierówność i sposób jej rozwiązania natomiast nie wiem nadal jak ma się oto do całego zadania.....

pigor: ..., dla jakich wartości parametru m nierówność m|x+1|+m²−m−2< 0 jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą x ? −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− no to może inaczej np. tak : szukam m takich dla których wykres lewej strony danej nierówności dla każdego x∊R leży poniżej osi Ox (<0) , a więc ma to miejsce ⇔ 1^o. m=0 i m|x+1|+m²−m−2< 0 ⇒ −2< 0 − spełnia tę nierówność ; 2^o. m≠0 ⇒ m|x+1|+m²−m−2< 0 ⇔ m<0 i m²−m−2 < 0 ⇔ ⇔ m< 0 i −1< m< 2 ⇔ −1< m < 0 , stąd i z 1^o ⇔ −1< m ≤ 0 ⇔ ⇔ m∊(−1;0 > − szukany zbiór wartości parametru m . ... −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− p..s. raczej jestem pewien wyniku, ale po wczorajszej nocy nic nie wiadomo ... , o , a może sprawdzisz to wolfram−em

pigor: ... , kurde, oczywiście w poście z godziny 12.45 zjadłem znak minus przy 1 i powinno być −1< m <2 ; przepraszam .

Bizon: a może tak:

	−m2+m+2		−m2+m+2
|x+1|<		dla m>0 lub |x+1|>		dla m<0
	m		m

	m2−m−2		m2−m−2
|x+1|>		... dla m>0 lub |x+1|<		... dla m<0
	m		m

	(m−2)(m+1)		(m−2)(m+1)
|x+1|>		... dla m>0 lub |x+1|<		... dla m<0
	m		m

... i teraz rozpatrujemy w przedziałach a) dla m∊ (−∞, −1) ... układ sprzeczny b) dla m=−1 układ sprzeczny c) dla m∊(−1,0) ... dla dowolnego x ... pozostałe sprzeczne (tyle, że w ten sposób 0 wypada po za dziedzinę)

Bizon: ... kurcze ... też naputałem

Bizon: ... chyba jednak nie naputałem bo dla m>2 ... może zachodzić ale nie dla każdego x

Bizon: oczywiście dla m>0 a nie dla m>2

Bizon: .... katastrofa − d) dla m∊(0,2) ... dla dowolnego x e) dla m=2 ... sprzeczny f) dla m∊(2,∞) ... może, ale nie dla każdego x zatem m∊(−1, 2) ... chyba bez 0

pigor: .., a właśnie, że z zerem (podstaw sobie m=0), co pokazałem w poście z godziny 13.43), a np. dla m=1,5 ⇒ 1,5|x+1| i dalej nie ma co podstawiać, bo przecież cały wykres L−ewej strony nierówności musi być pod osią Ox (L< 0) ...

Karol: Dzisiaj przejrzalem to sobie jeszcze raz i zrozumiałem Dzieki wszystkim