Symetria osiowa Ktosiek: Dany jest okrąg o równaniu (x−5)² + (y+1)² = 4 . Podaj równanie okręgu będącego jego obrazem w symetrii względem: a) osi OX b) osi OY c) prostej y= −1 d) prostej y= −x

Beti: żadna symetria nie zmieni "rozmiaru" okręgu, czyli promień r będzie zawsze taki sam. Zmienią się jedynie współrzędne środka okręgu, dlatego wystarczy znaleźć wsp. środka po każdej symetrii.

Ktosiek: A jak je znaleźć?

Janek191: ( x − 5)² + ( y + 1)² = 4 = 2² S = ( 5; − 1) r = 2 Symetria osiowa jest izometrią − zachowuje odległość punktów więc promień r się nie zmieni a) oś OX x' = x y' = − y S = ( 5; − 1) więc S₁ = ( 5; 1) Odp. ( x − 5)² + ( y − 1)² = 4 ======================== b) oś OY x' = − x y' = y S = ( 5; − 1) więc S₂ = ( − 5; − 1) Odp. ( x + 5)² + ( y + 1)² = 4 ======================== c) prosta o równaniu y = − 1 S = ( 5; − 1) leży na tej prostej, więc jest ona osią symetrii danego okręgu Odp. ( x − 5)² + ( y + 1)² = 4 ======================== d) Prosta o równaniu y = − x Przez punkt S = ( 5; − 1) prowadzimy prostą prostopadłą do danej: − 1*a₂ = − 1 a₂ = 1 y = x +b₂ więc − 1 = 5 + b₂ b₂ = − 6 y = x − 6 −−−−−−− Znajdujemy punkt wspólny prostych o równaniach: y = − x y = x − 6 −−−−−−−−−− − x = x − 6 −2x = − 6 x = 3 −−−− y = − 3 −−−−−−− P = ( 3; −3) − jest środkiem odcinka SS₄, gdzie S₄ = ( x; y) Mamy więc

5 + x		−1 + y
	= 3		= − 3
2		2

5 + x = 6 − 1 + y = − 6 x = 1 y = − 5 S₄ = ( 1; − 5) Odp. ( x − 1)² + ( y + 5)² = 4 ========================