Wykaż, że ciąg jest rosnący Aneta: Wykaż, że ciąg jest rosnący , prosze niech mi ktoś pomoże z tym zadaniem a_n = 3−²_n a_n = n²−n−2

	n−3
an =
	4

Bogdan: Monotoniczność ciągu określamy badając znak różnicy: a_n+1 − a_n. Jeśli a_n+1 − a_n < 0 to ciąg a_n jest malejący. Jeśli a_n+1 − a_n > 0 to ciąg a_n jest rosnący. Wyznacz w każdym ciągu a_n+1 i potem wyznacz różnicę: a_n+1 − a_n.

Bogdan: Aneto, podaj swoje rozwiązania.

Aneta:

	−4
w a) wyszło mi a)		b) −4 c) −54 i wiem że to jest napewno źle bo jeśli w
	n+1

poleceniu pisze "Wykaż, że ciąg jest rosnący" to on napewno jest rosnący a mi właśnie wychodzi, że jest malejący nie wiem jak to zrobić

Aneta:

	−4
w a) wyszło mi a)		b) −4 c) −54 i wiem że to jest napewno źle bo jeśli w
	n+1

poleceniu pisze "Wykaż, że ciąg jest rosnący" to on napewno jest rosnący a mi właśnie wychodzi, że jest malejący nie wiem jak to zrobić

Bogdan: a)

	2
an = 3 −
	n

	2
an+1 = 3 −
	n + 1

	2		2		−2n + 2n + 2		2
an+1 − an = 3 −		− 3 +		=		=		> 0
	n + 1		n		n(n + 1)		n(n + 1)

bo n > 0 Ciąg a_n jest rosnący Sprawdź następne swoje rozwiązania.

Aneta: dziekuję za pomoc

Aneta: ale nie rozumiem czegoś. Dlaczego w a_n+1 jest 3+²_n a nie 3−²_n przecież a_n= 3−²_n

Aneta: sorki pomyliłam się chodzi mi o a_n+1−a_n a nie o a_n+1

żółwik: Wiem, czego nie rozumiesz?

	2		2		2		2
an+1−an = 3 −		− ( 3 −		)= 3 −		− 3 +		=....
	n+1		n		n+1		n

Aneta: aha juz wiem o co chodzi dzieki wielkie

żółwik:

Aneta: a mógłby ktos sprawdzić czy dobry mam wynik w c) ¹₄ >0

żółwik: ok.

Aneta: thanks

Bogdan: Podaj jeszcze wynik różnicy a_n+1 − a_n dla drugiego ciągu, czyli dla a_n = n² − n − 2

Aneta: tego drugiego cos zrobic nie moglam dobrze bo mi zle wynik wychodzil

żółwik: a_n+1 = (n +1)² − ( n+1) −2= n² +2n +1 −n −1 −2= n² +n −2 dokończ teraz ......

Aneta: teraz w b) wyszło mi n²+n dobrze zrobiłam ?

Aneta: a_n+1−a_n=n²+n >0 dobrze ?

Bogdan: Niedobrze.

AROB: Żal mi się zrobiło Anety. b) a_n+1 − a_n = n² + n − 2 − (n² − n − 2) = 2n

Aneta: Dzięki

Aneta: dzieki za pomoc

Aneta: mam jeszcze kilka przykładów i chciałabym aby ktoś mi sprawdził jeden z nich czy dobrze

	6−2n
zrobiłam . Wykaż, że ciąg jest malejacy an=		i w tym wyszło mi an+1−an=
	3

	−2−4n
		. Dobrze czy źle ?
	3

Bogdan: Źle

Aneta: Co ja cały czas robie źle że mi zły wynik wychodzi

Bogdan: Nie zwracasz uwagi na znaki minus.

	6 − 2(n + 1)		6 − 2n		6 − 2n − 2 − 6 + 2n		−2
an+1 − an =		−		=		=		< 0
	3		3		3		3

Ciąg jest malejący

Aneta: Dziekuję panie Bogdanie za pomoc w zadaniach. Teraz napewno sobie poradze

Damian: Proszę o pomoc. Wiem, że ciąg jest malejący ale jak to udowodnić? a_n=−n²+7

bezendu: a_n=−n²+7 a_n+1=−(n+1)²+7=−n²−2n+6 a_n+1−a_n=−n²−2n+6−(−n²+7) =−n²−2n+6+n²−7 −2n−1 a_n+1−a_n<0 dla n∊N