zadanie z analizy, proszę o pomoc maciej: Wykaż, że podana funkcja jest 'na' (surjekcją): R² −> R², f(x, y) = (x+2y, y−x)

Basia: biorę dowolną parę (a,b)∊R² i sprawdzam czy jest wartością funkcji f(x,y) = (a,b) ⇔ x+2y=a ∧ y−x = b ⇔ x = a−2y ∧ y−a+2y = b ⇔ x=a−2y ∧ 3y = a+b ⇔

	a+b		a+b		3a−a−b		2a−b
y =		i x = a−2*		=		=
	3		3		3		3

udowodniłam, że: ∀_(a,b)∊R² ∃_{x=^2a−b3, y=^a+b3} f(x,y) = (a,b) ⇔ f jest surjekcją

maciej: Bardzo dziękuję Wyglądało straszniej

maciej: a jeszcze takie pytanie, czy jeżeli mam wykazać, że coś surjekcją nie jest, to mam korzystać jedynie z kontrprzykładu, czy da się to jakoś inaczej dowodzić? tak przykładowo: R2 −> R2, f(x, y) = (x+y−5, 2^x+y)

Basia: oczywiście z kontrprzykładu może być troszeczkę "uogólniony" 2^x+y > 0 dla każdej pary (x,y) zatem żadna para z drugim elementem ≤0 nie może być wartością tej funkcji

maciej: jeszcze raz dziękuję a jeszcze, skoro już mam okazję Kogoś zapytać, to jak rozumieć definicję surjekcji, tzn. wydaje mi się, że ją rozumiem, ale jednak wolałbym się upewnić.. funkcja jest 'na' jeżeli dla każdego x należącego do dziedziny istnieje jakaś wartość funkcji (y)? Dlatego na przykład funkcja z asymptotą poziomą, zakładając, że wykres funkcji nie przecina tej asymptoty, nigdy nie będzie surjekcją? a w przypadku pary liczb, wartością funkcji są dwie liczby, czyli wtedy dla dwóch liczb musi to być spełnione, tak?

Basia: niezupełnie; f: A → B jest surjekcją ⇔ ∀_y∊B ∃_x∊A f(x) = y czyli: f(x) = x+2 jest surjekcją R→R g(x) = x² nie jest surjekcją R→R (ale jest surjekcją R→<0;+∞)

	1
h(x) =		jest surjekcją R\{0} → R\{0}
	x

dużo zależy od tego jaki zbiór masz podany jako przeciwdziedzinę

maciej: a przeciwdziedzina to nie jest zbiór wartości funkcji?

Basia: jest; to są pojęcia równoznaczne natomiast Ty napisałeś coś odwrotnego: ∀_x∊D ∃_y∊ZW ...... to nie jest definicja surjekcji; to nawet nie jest definicja funkcji (bo musiałoby być ∃!) ∀_x∊R ∃_y∊R y = x² ale przecież to nie jest surjekcja R→R

maciej: rooooozumiem

maciej: czyli tak na chłopski rozum, funkcja będzie surjekcją, jeżeli dla każdego y istnieje taki x, który kiedy podstawimy go do wzoru funkcji, da wartość funkcji zawartą w przeciwdziedzinie?

Basia: tu głównie chodzi o to, że zapis f: R → R znaczy, że dziedziną jest R i funkcja przyjmuje wartości rzeczywiste (a nie zespolone na przykład) ale nie znaczy, że ZW = R przykładem jak zwykle jest f: x∊R → x²∊R to jest funkcja z R w R, ale nie na R

Basia: tak; na chłopski rozum tak

maciej: to świetnie dziękuję za cierpliwość, w tym tygodniu miałem pierwsze zajęcia z analizy i pomyślałem, że jak pewne niejasności będę wyjaśniać od razu, to łatwiej wytrwam.. to już na sam koniec, coś trochę innego, tylko to mi zostało: Wykaż, że dla dowolnego x ∊ R zachodzi równość arctgx+arcctgx=pi/2 jakaś mała podpowiedź?