Ciąg ograniczony Ziomek : mam ciąg rosnący a_n =²ⁿ⁺¹_n+1, mam sprawdzić czy jest ograniczony, z dołu to łatwo bo a₁, ale jak mam sprawdzić jaka liczba ogranicza go z góry?

Basia: intuicyjnie tak:

2n+1		n+1+n		n
	=		= 1 +		≤ 1+1 = 2
n+1		n+1		n+1

ale nie ma gwarancji, że to jest najmniejsza liczba ograniczająca ten ciąg z góry (akurat jest, ale jeżeli miałoby to być udowodnione, to trzeba znacznie bardziej formalnie)

Technik:

	2n+1		1   n(2+ )   n
lim=		=lim		=
	n+1		1   n(1+ )   n

1   2+limn→∞   n
	=
1   1+limn→∞   n

	2+0
=		=2
	1+0

	1
bo		=0
	n

ciąg jest ograniczony

Basia: Ziomek niekoniecznie musi znać pojęcie granicy nie jest potrzebne do zbadania tego czy ciąg jest, czy nie jest ograniczony

Ziomek : o dzięki właśnie zastanawiałam się nad granicą, ale że niewiele pamiętam z tego to chciałam wiedzieć czy jest jakiś inny sposób własnie bardziej formalny

Basia: ciąg a_n jest ograniczony z góry ⇔ istnieje N∊R, że dla każdego n∊N a_n≤N N jest kresem górnym dla tego ciągu jeżeli: ∀_ε>0 ∃_n0 a_n0 > N−ε kres górny nie musi być granicą ciągu; w Twoim przykładzie jest, ale np. ciąg

	2n
b2n =
	2n+1

b_2n+1 = −1 jest ograniczony; z dołu liczbą −1; z góry liczbą 1 ale nie jest w ogóle zbieżny oczywiście jeżeli jest rosnący(malejący) i ograniczony z góry (z dołu) to jest zbieżny