Liczby zespolone, równania Rob: Witam, mam parę pytań odnośnie zadań związanych z liczbami zespolonymi. 1. Znaleźć liczby a,b∊R takie, że: (2+ai)*(b−3i)=i tutaj po pomnożeniu mam tak: 2b −6i +abi −3ai²=i 2b −6i +abi +3a=i (przyrównuję): 2b +3a=0 ⋀ −6 + ab =1 ⇒ b= −³₂a ⋀ a*(−3/2a)=7 ⇒ a²=−¹⁴₃ w tym punkcie otrzymuję sprzeczność, że a² nie może być ujemne, czy muszę tu jakoś korzystać z warunku, że j²=−1?

	1+bi
b)		= 3i − 1 w tym przypadku mam przemnożyć przez sprzężenie lewą stronę czy
	a−2i

pomnożyć na krzyż? Po pomnożeniu przez sprzężenie wyszło mi

	a+abi +2i +2bj2
L=		i teraz nie wiem, czy tak jest dobrze przyrównane:
	a2+4

a−2b=−1 ab+2=3 czy te liczby z mianownika zapisać w taki sposób? a²+4=1 2. W zbiorze liczb zespolonych rozwiązać podane równania: z²=4ź (ź− z sprzężone) po podstawieniu za z=x+yi i ź=x−yi otrzymuję: x² +2xyi +y²i²=4x −4yi i tutaj nie wiem, jak dalej się za to zabrać. Czy mogę prosić o pomoc i wyjaśnienie tych zadań?

Rob: Odświeżam, czy ktoś mógłby mi to wytłumaczyć? Z góry dziękuję.

ICSP: Jeżeli nikt Ci dziś nie pomoże to jutro jakoś po 12 postaram się coś na ten temat napisać Tylko proszę powiedz mi, skąd masz te zadania ?

Janek191: z.1 (2 + ai )*( b − 3 i) = i 2b − 6i + ab i − 3 a i² = i ; i² = − 1 2b − 6i + ab i + 3a = i (2b + 3a) + ( ab − 6) i = i więc 2b + 3a = 0 ∧ ab − 6 = 1 2b = − 3a ∧ ab = 7

	14
b = −1,5 a ∧ a*( −1,5 a) = 7 ⇒ − 1,5 a2 = 7 ⇒ a2 = −		− sprzeczność
	3

Nie ma takich liczb rzeczywistych a, b. ============================= b)

1 + b i
	= 3i − 1
a − 2i

1 + bi = ( 3 i − 1)*( a − 2 i) 1 + b i = 3a i − 6 i² − a + 2i ; i² = −1 1 + bi = 3a i + 6 − a + 2i 1 + bi = ( 6 − a) + ( 3a + 2) i 1 = 6 − a ∧ b = 3a + 2 a = 5 ∧ b = 3*5 + 2 = 17 =========================== z.2 z² = 4 ź ( a + bi)² = 4*( a − bi ) a² + 2ab i + b²i² = 4a − 4b i ; i² = −1 a² + 2ab i − b² = 4 a − 4b i więc a² − b² = 4a ∧ 2ab = − 4b ⇒ ab = − 2b ⇒a = − 2 ( − 2)² − b² = 4*(−2) 4 − b² = − 8 b² = 12 = 4*3 b = − 2√3 ∨ b = 2√3 1) a = − 2 b = − 2√3 2) a = − 2 b = 2√3 Odp. z = − 2 − 2√3 i lub z = − 2 + 2√3 i =========================================

Mila: 1)(2+ai)*(b−3i)=i a,b∊R 2b−6i+abi−3ai²=i 2b−6i+abi+3a−i=0 2b+3a+abi−7i=0 (2b+3a)+(ab−7)i=0 2b+3a=0 i ab−7=0 2b=−3a i ab=7

	−3
b=		a
	2

	3		−14
−		a2=7 a2 =		brak rozwiązania w R
	2		3

	1+bi
2)		=3i−1 /*(a−2i) a,b∊R
	a−2i

1+bi=(3i−1)*(a−2i) 1+bi=3ai−6i²−a+2i 1+bi=3ai+6−a+2i 1+bi=(6−a)+(3a+2)i 6−a=1 b=3a+2 a=5 b=17 3) z²=4ź (a+bi)²=4(a−bi) a,b∊ a²+2abi−b²=4a−4bi (a²−b²)+2abi=4a−4bi porównanie części rzeczywistej i urojonej a²−b²=4a 2ab=−4b 2ab+4b=0 b(2a+4)=0 b=0 lub a=−2 1) b=0⇒a²−0=4a a²−4a=0 a(a−4)=0 a=0 lub a=4 a=0,b=0 lub a=4,b=0 2) a=−2 (−2)²−b²=4*(−2) 4−b²=−8 12=b² b=2√3 lub b=−√3 Mamy pary: a=−2, b=√3 lub a=−2, b=−√3

Rob: Bardzo Wam dziękuję, nie spodziewałem się, że aż tak dokładnie wszystko wypiszecie zadania mam z I roku studiów na politechnice, jeszcze nie do końca opanowałem ten materiał z liczb zespolonych, coś trochę świta jak zrobić zadanie, a później taki mały zastój, ale mam nadzieję, że zacznę się wyrabiać A jeszcze mam pytanie (oby nie głupie w przykładzie _1−j oznacza to, że cała ta liczba jest sprzężeniem?

Janek191: Ja mam pomyłkę w 3) i Mila ma pomyłkę w 3) : ) → 2√3

Janek191: a + bi to sprzężona do niej a − bi a − bi to sprzężona do niej a + bi

Mila: Dzięki, Janek, źle widać w tym edytorze . Myślę, że Rob sam poprawiłby, ale dla porządku piszę: Powtarzam 3 linijki ostatnie w (3) b=2√3 lub b=−2√3 Mamy pary: a=−2, b=2√3 lub a=−2, b=−2√3

Rob: Tak, wyszło mi poprawnie, nie zauważyłem, że brakuje u Was tej 2. Pytałem o to _1−i gdyż w następnym zadaniu mam obliczyć moduł i argument główny liczby zespolonej i mam taki przykład (1+i)* _−1+i i zastanawiałem się czy najpierw _−1+i muszę zamienić ze sprzężenia

Rob: Jednak jeszcze mam kilka pytań:

	1+i		2−3i
a)		=		no i robię tak:
	z		ź

(1+i)ź=(2−3i)z (1+i)(a−bi)=(2−3i)(a+bi) a+ai−bi−bi²=2a+2bi−3ai−3bi² a+b+ai−bi=2a+3b+2bi−3ai a+b+(a−b)i=2a+3b+(−3a+2b)i −a−2b+(a−b+3a−2b)i=0 −a−2b+(4a−3b)i=0 ⇒ −a−2b=0 ⋀ 4a−3b=0 ⇒a=−2b⋀ a=³₄b czy to jest dobrze rozwiązane? 2.(z+2)²=(ź+2)² (a+bi+2)²=(a−bi+2)² (a+bi)² +2(a+bi +2) +4=(a−bi)²+2(a+bi+2)+4 po przekształceniach wyszło mi: −b²+2abi=−2abi+b² 4abi−2b²=0 2b(2ai−b)=0 ⇒2b=0⋀ 2ai=b ⇔ b=0⋀ ai=^b₂ tutaj nie wiem, czy w ogóle dobrze się za to zabrałem 3.I jeszcze to, o czym wcześniej wspomniałem Obliczyć moduł i argument główny

a)		znam jakby te wzory na moduł i argument główny tylko nie do końca rozumiem co
	8i−6

oznacza ten zapis z kreską u góry? czy to jest sprzężenie, które mam zamienić na liczbę zespoloną i wtedy policzyć? b) (1+i) * _(−1+i)

Rob: Odświeżam, jakby ktoś mógł tylko mnie naprowadzić, czy dobrze to próbuję rozwiązywać, czy może jest jakiś innym sposób