Indukcja matematyczna cichy: Witam. Mam przykład z którym męczę się już długi czas. Moje kroki − Mam wykazać za pomocą indukcji matematycznej, że dla każdej liczby naturalnej n mamy: 1 1²+2²+...+n²=^n(n+1)(2n+1)₆ Jest ono prawdziwe dla n=1 2 k=n k≥1 1²+2²+...+k²=^k(k+1)(2k+1)₆ 3 Dla każdej liczby n=k+1 1²+2²+...+k²+(k+1)²=^{k+1(k+2)(2k+3)}₆ Próbowałem tak: ^k(k+1)(2k+1)₆+(k+1)²=^{k+1(k+2)(2k+3)}₆ Nie potrafię doprowadzić tego do stanu L=P, ile razy liczyłem, tyle razy wychodzi mi wszytko, tylko nie równość. Będę wdzięczny, jeśli ktoś wyjaśni mi krok po kroku doprowadzenie do L=P lub ewentualne ustalenie, że L≠P Liczę na waszą pomoc − pozdrawiam

Trivial: Żeby za dużo nie pisać oznaczmy: S_n = 1² + 2² + 3² + ... + n². Mamy udowodnić

	n(n+1)(2n+1)
Sn =
	6

1. Dla n = 1 mamy:

	1*2*3
S1 =		= 1 OK
	6

2. Krok indukcyjny

	n(n+1)(2n+1)		(n+1)(n+2)(2n+3)
(Sn =		) ⇒ (Sn+1 =		)
	6		6

	(n+1)(n+2)(2n+3)
Sn+1 =
	6

	(n+1)(n+2)(2n+3)
Sn + (n+1)2 =
	6

n(n+1)(2n+1)		(n+1)(n+2)(2n+3)
	+ (n+1)2 =
6		6

Wymnożyć, sprawdzić czy wyjdzie 0 = 0 i gotowe.

cichy: Dzięki wielkie, wymnożyłem i zgadza się, teraz L=P. Muszę popracować nad porządkiem rachunku, bo mam tendencję do chaotycznego zapisu, i często się gubię. Jeszcze raz dzięki za pomoc

cichy: Hej hej, to znowu ja, ponownie potrzebuję "lekkiej" pomocy. 1 przykład. S_n = (1+2+3+...+n)² = 1³+2³+3³+...+n³ Jest to prawda dla n=4, wtedy: S₄ = (1+2+3+4)² = 1³+2³+3³+4³ 10² = 1+8+27+64 100 = 100 Nie mam pewności jak zrobić krok indukcyjny Prawa: S_n+1 = 1³+2³+3³+...+n³+(n+1)³ i jak zastosować to do lewej strony? S_n+1 = (1+2+3+...+n)²+(n+1)³ ? Jeśli tak, to jak to obliczyć? Przykład numer 2. S_n = 2ⁿ ≥ 2n 1. Dla n = 1 S₁ = 2¹ ≥ 2*1 = 2 ≥ 2 Dalej nie mam pewności jak wykonać przykład poprawnie 2. Krok indukcyjny S_n+1 = 2ⁿ⁺¹ ≥ 2(n+1) 2ⁿ*2¹ ≥ 2n+2 2ⁿ*2 ≥ 2n+2 Tutaj się zatrzymałem, może powinienem obustronnie podzielić przez 2? Wtedy: 2ⁿ ≥ n+1 Nie mam pewności czy tu można zakończyć, czy należy przeprowadzić (jakieś) dalsze działania? Pozdrawiam

cichy: Refresh

cichy: Bump

Mila: Pozostało Ci wykazać, że : (1+2+3+.....+n+n+1)²=1³+2³+3³+....n³+(n+1)³ L=[(1+2+3+.....+n)+(n+1)]²= skorzystam z wzoru (a+b)², a=(1+2+3+.....+n) i b=(n+1) =(1+2+3+.....+n)²+2*(1+2+3+.....+n)*(n+1)+(n+1)²=

	1+n
=13+23+33+....n3+2*		*n*(n+1)+(n+1)2=
	2

=1³+2³+3³+....n³+(n+1)*n*(n+1)+(n+1)²= =1³+2³+3³+....n³+(n+1)²*(n*+1)= =1³+2³+3³+....n³+(n+1)³=P cnw