indukcja matematyczna xyz456: Czy ktoś mógłby mi sprawdzić te zadania a) 1+2+...+n=n(n+1)/2 1. n=1 L=1 P=1 2.założenie indukcyjne n=k 1+2+...+k=k(k+1)/2 3. teza indukcyjna n=k+1 1+2+...+k+k+1=(k+1)(k+2)/2 4.dowód indukcyjny 1+2+...+k+k+1=k(k+1)/2 + k+1= (k²+k)+2(k+1)/2=k²+3k+2/2 b) 1²+2²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6 1. n=1 L=1 P=1 2.założenie indukcyjne n=k 1²+2²+...+k²=n(k+1)(2k+1)/6 3. teza indukcyjna n=k+1 1²+2²+...+k²+(k+1)²=(k+1)(k+2)(2k+3)/6 4.dowód indukcyjny 1²+2²+...+k²+(k+1)²=n(k+1)(2k+1)/6+(k+1)²=2k³+9k²+13k+6/6 d) (1+2+3+...+n)²=1³+2³+3³+...+n³ 1. n=1 L=1 P=1 2. założenie indukcyjne n=k (1+2+3+...+k)²=1³+2³+3³+...+k³ 3. teza indukcyjna n=k+1 (1+2+3+...+k+ k+1 )²=1³+2³+3³+...+k³+ (k+1)³ 4.dowód indukcyjny i teraz nie bardzo wiem co z tym zrobić...

Aga1.:

	k(k+1)
a)L=1+2+3+...+k+k+1=(korzystasz z założenia i zamiast czerwonego wpisujesz		)
	2

	k(k+1)		k(k+1)		2(k+1)
=		+k+1=		+		= (nie wymnażaj, to łatwiej dostrzeżesz ,że L=P)
	2		2		2

	k(k+1)+2(k+1)		(k+1)(k+2)
=		=		=P.
	2		2

Twoim sposobem, to trzeba jeszcze przekształcać prawą stronę, by pokazać,że L=P.

Aga1.: d)Może będzie łatwiej

	n(n+1)
13+23+...+n3=(1+2+3+...+n)2=(		)2
	2

xyz456: to mam jeszcze pytanie: skąd wzięło się to {n(n+1)/2}²

Garth: 1 + 2 + ... + n jest ciagiem, wiec sprobuj go okreslic za pomoca jakiegos innego wyrazenia.

xyz456: ok rozumiem, a ten przykład jest policzony dobrym sposobem czy nie? 2ⁿ≥2n n=1 czyli 2¹=2*1 n=k k≥1 2^k≥2k n=k+1 2^k+1≥2k 0≤2k+2^k+1