Analiza/ indukcja LLL: Niech f(n) będzie oznaczało największą liczbę obszarów na jaką n płaszczyzn może podzielić przestrzeń trójwymiarową. Wyznacz f(n) wzorem, jako funkcje zmiennej n∊N.

pigor: ..., otóż liczba takich obszarów(części płaszczyzny) będzie największa wtedy, gdy żadne 2−wie płaszczyzny nie będą równoległe i żadne 3−y z nich, nie będą miały wspólnej krawędzi przecięcia. Niech p(n) − szukana liczba obszarów podziału przez n= 0,1,2,3, ..takich płaszczyzn , to n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ... p(n) | 1 | 2 | 4 | 8 | 15 | ... narysowanie i policzenie liczby obszarów p(5) , czyli przy n=5 i więcej sprawia już kłopot. Teraz oblicze różnice wyraz ów ciągu i tak : 1 2 4 8 15 ... 1 2 4 7 ... 1 2 3 ... − ciąg arytmetyczny 3−ego rzędu, więc p(n)= an³+bn²+cn+d = ?, skąd dla n=0,1,2,3 odpowiednio mamy układ 4−ech równań o 4−ech niewiadomych a,b,c,d : { d=1 i a+b+c+1= 2 i 8a+4b+2c+1= 4 i 27a+9b+3c+1=8 ⇔ ⇔ { d=1 i a+b+c= 1 i 8a+4b+2c= 3 i 27a+9b+3c= 7 ⇔ ... ⇔ ⇔ a= ¹₆, b=0 c=⁵₆, d=1, zatem p(n)= ¹₆(n³+5n+6) = ¹₆(n+1)(n²−n+1) , gdzie n∊N −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ... teraz pobaw się dowodem indukcyjnym tego wzoru i to by było tyle . ...

wiesław: Dzieki wielkie!