Indukcja mat Libertarian: Udowodnij nierówność dla n=1,2,3,4,... 2(√n+1−1)< ∑(od k=1 do n) 1/√k< 2√n −1

Godzio:

	1
2(√n + 1 − 1) < ∑k=1n		< 2√n − 1
	√k

Dla n = 1 2(√2 − 1) < 1 < 1 Fałsz.

Libertarian: Przepraszam powinno byc dla n= 2,3,4... itd

Godzio: Nie będę już dokładnie pisał całej procedury bo to chyba umiesz Prawa część nierówności:

	1		1		zał.		1
∑k=1n		+				2√n − 1 +		=
	√k		√n + 1		<		√n + 1

	2√n2 + n
=		− 1 < (*)
	√n + 1

	√n2 + n
Pokażemy, że		< √n + 1 ⇔ √n2 + n < n + 1 /2 ⇔
	√n + 1

⇔ n² + n < n² + 2n + 1 ⇔ 0 < n + 1 co zachodzi dla każdego n naturalnego, zatem: (*) = 2√n + 1 − 1 Teraz lewa część:

	1
2(√n + 2 − 1) < 2(√n + 1 − 1) +		(tego potrzebujemy więc spróbujmy to
	√n + 1

udowodnić elementarnie)

	1		1
⇔ 2√n + 2 < 2√n + 1 +		/2 ⇔ 4(n + 2) < 4(n + 1) + 4 +		⇔
	√n + 1		n + 1

	1		1
⇔ 4n + 8 < 4n + 4 + 4 +		⇔ 0 <
	n + 1		n + 1

Co jest prawdą dla każdego n naturalnego, pokazaliśmy prawdziwość naszej nierówności, zatem z założenia możemy napisać:

	1		1		1
2(√n + 2 − 1) < 2(√n + 1 − 1) +		< ∑k=1n		+		=
	√n + 1		√k		√n + 1

	1
= ∑k=1n+1
	√k

Co kończy dowód

wiesław: Dzieki bardzo!

Krzysztof:

	1
Dlaczego dodajesz jakies		? rozumiem ze teza indukcyjna wyglada tak:
	√n+1

2(√n+2−1)< ∑(od k=1 do n+1) 1/√k< 2√n+1 −1. Może poprostu coś przeoczyłem

Godzio: Napisałem to co musimy otrzymać, udowodniłem, że to zachodzi, a dalej poszła indukcja.