Jaka krzywa opisuje równanie POMOCY PILNE Nina: Jaka krzywa opisuje równanie 9x² +25y² +18x−100y−116=0 .Wyznacz środek oraz ogniska.Wykonaj wykres.

matyk: prawdopodobnie okrąg

matyk: jeśli nie to elipsę

Gustlik: Okrąg musiałby mieć początek równania x²+y² ewentualnie np. 9x²+9y², czyli ten sam współczynnik przy x²+y². Najprawdopodobniej jest to elipsa.

Nina: Wiec jak przekształcić to równanie 9x² +25y² +18x−100y−116=0 na równanie elipsy ?

Eta:

9(x+1)2		25(y−2)2
	+		=1
225		225

Trivial: 9x² + 25y² + 18x − 100y − 116 = 0 9(x² + 2x + 1) + 25(y² − 4y + 4) = 116 + 9 + 100 = 225 3²(x+1)² + 5²(y−2)² = 15²

	x+1		y−2
(		)2 + (		)2 = 1
	5		3

Eta: Jasne dalej po uproszczeniu

(x+1)2		(y−2)2
	+		=1
25		9

	x+1		y−2
(		)2+(		)2=1
	5		3

Bogdan: Szkic: (9x² + 18x + 9) + (25y² − 100y + 100) = 116 + 9 + 100 9(x² + 2x + 1) + 25(y² − 4y + 4) = 225 3²(x + 1)² + 5²(y − 2)² = 15² / :15²

(x + 1)2		(y − 2)2
	+		= 1
52		32

To jest elipsa przesunięta o 1 jednostkę w lewo i o 2 jednostki w górę, oś duża a = 5, oś mała b = 3

Bogdan: Dobry wieczór

Eta: Dobry, dobry

Gustlik: Wyprowadziłem wzory na elipsę: Równanie ogólne elipsy: Ax²+By²+Cx+Dy+E=0 (1) Równanie kanoniczne elipsy:

(x−xs)2		(y−ys)2
	+		=1 (2)
a2		b2

Jak przeliczyć współczynniki? a=√B b=√A ← półosie

	C
xs=−
	2b2

	D
ys=−		← współrzędne środka
	2a2

Wzory można wyprowadzić poprzez rozpisanie równania (2) do postaci (1) i porównanie współczynników, analogicznie jak równanie okręgu. Np. 9x² +25y² +18x−100y−116=0 a=√B=√25=5 b=√A=√9=3

	C		18		18
xs=−		=−		=−		=−1
	2b2		2*32		18

	D		−100		100
ys=−		=−		=		=2
	2a2		2*52		50

Jest to elipsa o półosiach a=5, b=3 i środku S=(−1, 2) Czyli

(x+1)2		(y−2)2
	+		=1
25		9

Nina: Dzieki wielkie wszystkim za pomoc

Gustlik: Można jeszcze sprawdzić współczynnik E=b²x_s²+a²y_s²−a²b² czy się zgadza: E=3²*(−1)²+5²*2²−5²*3²=9*1+25*4−25*9=9+100−225=−116 OK.