wektor normalny do płaszczyzny w punkcie Ella: znależć wektor normalny do powierzchni sfery x²+y²+z²=4 w punkcie (1,√3,√3). Nie wiem gdzie wstawić współrzedne tego punktu

Basia: to jest równanie kuli o środku S(0,0,0) i R=√4 = 2 wektorem normalnym w punkcie P(1;√3;√3) jest każdy wektor [ λ; λ√3; λ√3 ] gdzie λ∊R\{0} patrz: http://pl.wikipedia.org/wiki/Wektor_normalny

Basia: sfery nie kuli oczywiście, ale rozwiązanie bez zmian

Ella: no, ok, ale rozwiązanie jest inne, niech będzie to jak teraz zrobić dla paraboloidy z=x²+y² w punkcie (1,2,3) tak po kolei , jakaś parametryzacja, pochodne czastkowe, iloczyn wektorowy tak jest dla ogólnego a nie umie przenieść na przykład dla danego punktu

Trivial: Przede wszystkim punkt (1,√3,√3) nie należy do sfery x²+y²+z² = 4, więc ja nie wiem o co pytają w zadaniu.

Trivial: Tak samo, punkt (1,2,3) nie należy do paraboloidy z = x² + y².

Ella: sorki punkt (1.1.2)

Ella: odpowiedz jest ze n=(−2,−2,1) ale jak to zrobić?

Basia: oczywiście Trivial ma rację; przeoczyłam to tak samo z tą paraboloidą; punkt do niej nie należy więc niby w jakim punkcie szukać płaszczyzny stycznej ? coś tu nie gra

Trivial: P = (x, y, F(x,y)) Wektory styczne do powierzchni wzdłuż parametrów x,y to:

	∂F
u = (1, 0,		)
	∂x

	∂F
v = (0, 1,		)
	∂y

Wektor normalny obliczymy ze wzoru

	∂F		∂F
n = λ*u×v = λ*(−		, −		, 1)
	∂x		∂y

U Ciebie F = z(x,y) = x²+y²

Basia: z = x²+y² z − x² − y² = 0 no to wystarczy policzyć gradient funkcji f(x,y,z) = z−x²−y² w p−cie P(1,1,2) o ile dobrze pamiętam

	df		df		df
a gradient to wektor [		(x0,y0,z0);		(x0,y0,z0);		(x0,y0,z0) ]
	dx		dy		dz

df
	= −2x
dx

df
	= −2y
dy

df
	= 1
dz

df
	(1,1,2) = −2*1 = −2
dx

df
	(1,1,2) = −2*1 = −2
dy

df
	(1,1,2) = 1
dz

i masz szukany wektor [−2; −2; 1]

Ella: dziekuje, czyli wszystkie zadania tego typu można tak liczyc? zapisac jako funkcje f (x,y,z) i liczyc gradient?, to w sumie prosto, bo w ksiązce jest spodób z liczeniem iloczynów wektorowych wektorów stycznych do płaszczyzny. Dziękuje, zaraz przechodze do całek powierzchniowych wiec dalej bede pisać prośby o pomoc.

Basia: tak; tylko zawsze musi być f(x,y,z) = constans

Basia: P.S. ten sposób wyprowadzono na podstawie działań na wektorach, na podstawie iloczynu wektorowego i skalarnego, ale chyba możesz go stosować

Trivial: Basiu, ciekawy sposób. Jak go wyprowadzić?

Basia: Trivial to było ........dzieści lat temu Za dużo wymagasz. Mniej więcej jest tutaj: http://pl.wikipedia.org/wiki/P%C5%82aszczyzna_styczna

Trivial: Basiu, przecież nie chodziło mi o to, żebyś Ty to wyprowadzała. Link w zupełności wystarczy.

Ella: a czy wzory na powierzchnie styczna do krzywej i powierzchnie styczna do płaszczyzny to w takim razie to samo, bo jak liczy sie wektor normalny do krzywej to tez liczymy pochodne , i powstaje nam gradient, czy ja juz pomieszałam?