wartości parametru jojo: rozwiąż względem niewiadomej x równanie

x2+1		1		x
	−		=
a2x−2a		2−ax		a

i zbadaj dla jakich wartości parametru a równanie : a) ma dwa pierwiastki b) ma dokładnie jeden pierwiastek c) nie ma pierwiastków

loitzl9006: na początek trzeba sprowadzić do wspólnego mianownika zauważmy, że a²x−2a=a(ax−2)

	1		1		a
−		=		=
	2−ax		ax−2		a(ax−2)

x		x(ax−2)
	=
a		a(ax−2)

więc nasze równanie można przedstawić jako

x2+1		a		x(ax−2)
	+		=
a(ax−2)		a(ax−2)		a(ax−2)

x2+1+a−ax2+2x
	=0
a(ax−2)

mnożymy obustronnie razy a(ax−2), zostaje licznik x²−ax²+2x+1+a=0 (1−a)x²+2x+1+a=0 a) Δ>0 Δ=4−4*(1−a)*(1+a)=4−4(1−a²)=4−4+4a²=4a² Δ>0⇔4a²>0 a∊R\{0} − dla każdej oprócz 0 wartości parametru a równanie ma 2 rozwiązania czyli nie trzeba już b) i c) rozważać ale sprawdźcie mogłem po drodze walnąć jakąś głupotę

	2
i jeszcze dziedzina: a≠0, 2−ax≠0 czyli x≠
	a

Basia: założenia:

	2
a2x−2a≠0 ⇔ a(ax−2) ≠ 0 ⇔ a≠0 ∧ x≠
	a

co oznacza, że dla parametru a=0 równanie w ogóle nie istnieje, a rozwiązanie x≠²_a 2−ax ≠ 0 i a≠0 daje to samo

x2+1		1		x
	+		=		/*a(ax−2)
a(ax−2)		ax−2		a

x²+1 + a = x(ax−2) x² +1 + a = ax² − 2x x² − ax² + 2x + a+1 = 0 (1−a)x² + 2x + (a+1) = 0 dla 1−a = 0 czyli dla a=1 mamy 0*x² + 2x + 2 = 0 2x+2 = 0 x = −1

a		1
	=		≠ −1
2		2

czyli dla a=1 mamy jedno rozwiązanie dla a≠1 Δ = 4 − 4(1−a)(1+a) = 4 − 4(1−a²) = 4−4 + a² > 0 dla każdego a≠0

	−2−|a|
x1 =
	2

	−2+|a|
x2 =
	2

czy może być tak, że

−2−|a|		a
	=		?
2		2

−2 − |a| = a a + |a| = −2 a>0 ⇒2a = −2 sprzeczność a<0 ⇒ 0 = −1 sprzeczność

	a
czyli x1≠
	2

czy może być tak, że

−2+|a|		a
	=
2		2

−2 + |a| = a a − |a| = −2 a>0 ⇒ 0=−2 sprzeczność

	1
a<0 ⇒ 2a=−1 i to jest możliwe dla a= −
	2

czyli ostatecznie: dla a=0 równanie nie ma sensu

	1
dla a=1 i a=−		ma jedno rozwiązanie
	2

	1
dla a≠0 i a≠1 i a≠−		ma dwa rozwiązania
	2

jojo: Dziękuję wam

Basia: oj nie zgubiłam tam 4 Δ = 4a² > 0 dla każdego a≠0

	−2−2|a|
x1 =		= −1−|a|
	2

x₂ = −1+|a|

	a
−1 − |a| =
	2

−2 − 2|a| = a 2|a| + a = −2 a>0 ⇒ 3a= −1 sprzeczność a<0 ⇒ −a = −2 ⇒ a=2 sprzeczność

	a
x1 ≠		nigdy
	2

	a
−1+|a| =
	2

−2 + 2|a| = a 2|a| − a = 2 a>0 ⇒ a = 2 możliwe a<0 ⇒ −3a=2 sprzeczność czyli: dla a=0 równanie nie ma sensu dla a=1 i a=2 ma jedno rozwiązanie dla a≠0 i a≠1 i a≠2 ma dwa rozwiązania

pigor: ..., lub, np. tak :

x2+1		1		x		x2+1		1		x
	−		=		⇒		+		=		⇒
a2x−2a		2−ax		a		a(ax−2		ax−2		a

	x2+1+a		x
⇒		=		i a≠0 i x≠2a(*) ⇒
	a(ax−2		a

⇒ x(ax−2)= x²+1+a ⇔ ax²−2x−x²−1−a= 0 ⇔ ⇔ (a−1)x²−2x−(a+1)= 0 , to dane równanie ma : a) 2 pierwiastki ⇔ a−1≠0 i a≠0 i Δ=4+4(a²−1)= 4a²>0 ⇔ a∊R\{0,1} ; b) dokładnie 1 pierwiastek ⇔ a=1 i 2x+2=0 ⇒ x= −1 ≠ 2 − patrz (*) ; c) nie ma pierwiastków (tu − nie ma sensu) ⇔ a=0 i to chyba tyle . ...

pigor: ..., no to , różnimy się, ale to już tak jest jak, piszę on−line, trudno, . ...

Basia: to podstaw sobie pigor a=2 i rozwiąż równanie

x2+1		1		x
	−		=
4x−4		2−2x		2

x2+1		1		x
	+		=
4(x−1)		2x−2		2

x2+1		1		x
	+		=		/*4(x−1)
4(x−1)		2(x−1)		2

x≠1 x²+1 − 2 = 2x(x−1) x² −1 = 2x² − 2x −x² + 2x − 1 = 0 x² − 2x + 1 = 0 (x−1)² = 0 i x≠1 to ile ono ma rozwiązań dla a=2 ? (ale też się pomyliłam, bo napisałam, że jedno)

pigor: ...sądzę, że autor postu sobie juz poradzi i z naszych koncepcji wyciągnie wnioski , boj a nie mam ochoty wnikać zbyt głęboko w te brrr... parametry .

Basia: aj znowu nie tak, znaki mi się mylą jeszcze raz porządnie

Basia:

x2+1		1		x
	−		=
a2x−2a		2−ax		a

x2+1		1		x
	+		=
a(ax−2)		ax−2		a

	2
a≠0 i rozwiązanie jeżeli istnieje musi spełniać warunek x ≠
	a

x²+1 + a = x(ax−2) x² + 1 + a = ax² − 2x (1−a)x² + 2x + (a+1) = 0

	2
a=1 ⇒ 2x+2 = 0 ⇒ x= −1		= 2
	a

nie ma kolizji jest jedno rozwiązanie a≠1 Δ = 2² − 4(1−a)(a+1) = 4 − 4(1−a²) = 4a²

	−2−2|a|		−2(1+|a|)		−(1+|a|)		|a|+1
x1 =		=		=		=
	2(1−a)		2(1−a)		1−a		a−1

dla a>0

	a+1
x1 =
	a−1

a+1		a
	=
a−1		2

2a+2 = a² − a a² − 3a −2 = 0 to jest możliwe dla jakiegoś a i wtedy x₁ jako pierwiastek odpadnie ale nie skończę bo mam gościa

Basia: dla a= −2 jest tylko jedno rozwiązanie; łatwo sprawdzić