Wielomiany
DeDee: Dla jakich wartości parametrów a,b,c liczba −2 jest trzykrotnym pierwiastkiem wielomianu
W(x)=x4+5x3+ax2−bx−c
2 paź 18:10
DeDee: UP
2 paź 18:49
DeDee: UP
2 paź 19:06
DeDee: UP
2 paź 19:30
PW: Z warunków zadania
W(x) = (x+2)
3(x+r)
Po podstawieniu x=0 dostajemy
−c=W(0)=(0+2)
3(0+r)
−c=8r
Po wymnożeniu otrzymamy wszystkie współczynniki jako liczby zależne od c.
Ważne, żeby nie nabrać się na układ równań z trzema niewiadomymi, szkoda czasu.
2 paź 19:37
Lorak: Właśnie tak zastanawiałem się, czy mamy pewność że ten wielomian ma 4 pierwiastki, a nie tylko
3 ?
2 paź 19:47
Basia:
jeżeli ma pierwiastek trzykrotny i jest czwartego stopnia to musi mieć też czwarty
przecież (x+2)3 będzie trzeciego stopnia
więc żeby dostać wielomian czwartego stopnia musisz go pomnożyć przez
wielomian x+r (pierwszego stopnia)
2 paź 19:50
Lorak: <<jeżeli ma pierwiastek trzykrotny i jest czwartego stopnia to musi mieć też czwarty
dlaczego musi? Wynika to z jakiegoś twierdzenia?
<<więc żeby dostać wielomian czwartego stopnia musisz go pomnożyć przez
wielomian x+r (pierwszego stopnia)
Ale chyba nie każdy wielomian 4 stopnia da się rozłożyć na czynniki?
Może te pytania są głupie, ale ja lubie po prostu wiedzieć dlaczego tak jest a nie inaczej
2 paź 19:55
DeDee: nadal jestem zielony
ktoś pomoże?
2 paź 22:02
Lorak: i przy okazji odpowie na moje (chyba dziwne) pytania?
DeDee, sorka, że się tak podczepiłem do tematu.
2 paź 22:19
isia:
Ja tam bym rozwiązała tak:
za pomocą
pochodnych
W(−2)=0
W
'(−2)=0
W
"(−2)=0
i otrzymuję ;
a=6, b= 4, c= 8
i czwarty pierwiastek
x= 1
2 paź 22:22
Kostek:
Pochodnych nie ma w szkole średniej
2 paź 22:23
Garth:
"Ale chyba nie każdy wielomian 4 stopnia da się rozłożyć na czynniki? "
Racja, ale tutaj wlasnie szukamy takiego, ktory da sie rozlozyc na 3 (+ 1) czynniki.
2 paź 22:25
Lorak: w "nowej podstawie" już są.
2 paź 22:25
Kostek:
Ale w starej nie ma
2 paź 22:27
Garth:
"dlaczego musi? Wynika to z jakiegoś twierdzenia?"
Liczba −2 ma byc trzykrotnym pierwiastkiem naszego wielomianu. Chyba nie zapiszesz tego
wielomianu w postaci (x + 2)3 + g(x)?
2 paź 22:27
krystek: ale w postaci (x+2)3*g(x)
2 paź 22:28
ZKS:
Garth każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych da się rozłożyć na iloczyn
wielomianów stopnia co najmniej drugiego.
2 paź 22:29
isia:
2 paź 22:30
Garth:
Ups.
2 paź 22:33
ZKS:
Sposób z pochodnymi jest najłatwiejszy.
Jeden wzór na pochodne który jest tak prosty i
mamy praktycznie całe zadanie zrobione.
2 paź 22:34
isia:
No to tak:
W(x)=(x+2)3*(x−r) , r−− czwarty pierwiastek
W(x)= (x3+6x2+12x+8)(x−r) = x4−rx3+6x3−6rx2+12x2−12rx+8x−8r
W(x) = x4+(6−r)x3 +(12−6r)x2+(8−12r)x−8r
jeżeli wielomiany są równe to:
6−r= 5 i 12−6r=a i 8−12r= −b i −8r= −c
r=1 to a =6 b= 4 c= 8
2 paź 22:42
Lorak: na wiki wyczytałem, że:
"Wielomian rzeczywisty stopnia n ma n pierwiastków rzeczywistych lub o parzystą liczbę mniej"
Da się to jakoś prosto udowodnić?
2 paź 22:47
Lorak: ?
2 paź 23:12