Rozwiąż układ dwóch równań kwadratowych D.: Witam, mam olbrzymi problem z rozwiązaniem poniższego układu i będę wdzięczny za każdą pomoc. Wynik to 1 i 3. x² + y² + xy = 13 (x+y)² + xy*(x+y) = 28

Tadeusz: ... czy to jest cała treść zadania?

D.: Treść brzmi: rozwiąż układ równań x² + y² + xy = 13 (x+y)² + xy*(x+y) = 28

Tadeusz: ... żadnych innych założeń?

D.: Nie wydaje mi się, żebym coś pominął, więc to raczej wszystko. A co konkretnie masz na myśli? Ten układ jest niemożliwy do rozwiązania?

wredulus_pospolitus: zał. x,y>0 x²+y²+xy = 13 −> (x+y)² = 13 + xy czyli: (x+y)² + xy*(x+y) = 28 −> 13 + xy + xy*(x+y) = 28 −> xy+ xy*√13+xy = 15 czyli: niech t = x*y t*√13+t = 15 − t −> t²*(13+t) = 225 − 30t + t² −> t³ + 12t² + 30t − 225 = 0 −> −> (t−3)*(t²+15t+75) = 0 t = 3 −> x*y=3 a więc masz: x²+y²+3 = 13 (x+y)² + 3*(x+y) = 28 czyli: x²+y² = 10 (x+y)² + 3(x+y) = 28 poradzisz sobie dalej

PW: z(2) x²+y²+2xy+xy(x+y)=28 x²+y²+xy(x+y+2)=28 Odejmując od tego (1) otrzymamy xy(x+y+1)=15 Zgadujemy, że rozwiązaniem jest para (1,3) i w konsekwencji (równanie jest "symetryczne") również para (3,1) Zastanowic się trzeba, czy są to jedyne rozwiązania.

D.: Dzięki! Jasne, poradzę. Kurdęż, trzy godziny nad tym zadaniem siedziałem, a ani razu nie spróbowałem podstawić pod (x+y) pierwiastka. Chyba nie jestem matematycznym gigantem. Dzięki raz jeszcze.

wredulus_pospolitus: oczywiście x²+y² = 10 przekształcasz na −> (x+y)² − 2xy = 10 −> (x+y)² = 16 −> x+y = +/−4

D.: Do tego już sam doszedłem Myślicie, że da się wyćwiczyć w rozwiązywaniu zadań tego typu, czy to tylko wrodzony skill jest ?

wredulus_pospolitus: hmmm oczywiście że się da wyćwiczyć ... najważniejsze to ... 'kombinować' i 'próbować' powiem szczerze ... jak ja to robiłem: 0) hmmm ciekawe ciekawe 1) zauważyłem wzór skróconego mnożenia w pierwszym 2) podstawiam za (x+y)² w drugim i planuję za (x+y) wstawić pierwiastek 3) ale 'cholera będę miał lipny pierwiastek, nieee ... to musi jakoś inaczej się dać' 4) kombinuję inaczej 5) 'e tam ... grupowanie nic nie daje' 6) 'no to idę na chama − wstawię pierwiastek zobaczę co będzie' Tak więc −−− nie wiedziałem jak to rozwiązać, nie wiedziałem czy to dobre rozwiązanie, aż nie wyznaczyłem wartości dla x*y ... więc i Ty po prostu musisz parę rzeczy zauważyć (kwestia wyćwiczenia), ale jak napotykasz problem to po prostu 'kombinować' i 'próbować' różnych opcji −−− nie ma tutaj wielkiej filozofii, to jest takie błądzenie w ciemności.

pigor: ..., no to może np. tak x²+y²+xy=13 i (x+y)²+xy(x+y)=28) ⇔ x²+y²+2xy−xy=13 i (x+y)(x+y+xy)=28 ⇔ ⇔ (x+y)²−xy= 13 i (x+y)(x+y+xy)= 4*7 ⇒ x+y= 4 i xy=3 ⇔ ⇔ (xy)= (1,3) lub (xy)= (3,1) . ...

wredulus_pospolitus: pigor −−− ale to nadal jest 'zgaduj zgadula'

pigor: ... wierz mi, ale u mnie to ona nie była (ta ... zgadula), tylko po prostu − zwykle to robię − najpierw "wszedłem" w głowę autora zadania i wszystko było proste, łatwe i przyjemne, zresztą sądzę, że tu o to właśnie chodziło autorowi układu, a nie o żmudne "rachunki" ; pozdrawiam . ...

Eta: Jaka "zgaduj−zgadula" ? Jak ktoś nie widzi rozwiązań , to poczciwa delta pomoże

D.: Nigdzie nie było założenia, że x,y∊C.

D.: wredulus_pospolitus: ja stchórzyłem przed tym pierwiastkiem − i to był błąd

pigor: ... , no i co z tego, że nie było , przecież tak samo nie było , że ∊R . ..

pigor: ...., a tak przy okazji nie jestem maso..., ani sady ... i dłuższe rozwiązania jak na pół kartki A5 mnie − nie kręcą (daję sobie spokój), powiem więcej nie interesują .

isia: dobre, dobre ....

pigor: ...ciesze się, że ktoś mnie rozumie ; dzięki isia , szkoda tylko, że w szkołach polskich są w większości , zresztą nie dziwię się , bo o tym i tym podobnych sprawach pięknie "mówi" − daje odpowiedź − krzywa Gaussa, tylko kogo to interesuje . ...

isia: dla pigora

pigor: ..., o kurcze , no przecież to Eta ; och Ty ... dziękuję, dziękuję ...

PW: Eta Zgadywanie nie jest metodą złą ani "nienaukową". Przecież robimy to za każdym razem. Co robi uczeń szkoły podstawowej − i profesor uniwersytetu też − rozwiązując równanie 3x=12? Ano zgaduje, że x=4, po czym sprawdza: tak, 3•4=12 (bo zna tabliczkę mnożenia). Nie szuka już innych rozwiązań, bo wie o istnieniu dokładnie jednego elementu odwrotnego dla tego działania. Ja zaproponowałem tę samą metodę − zgadujemy jedno rozwiązanie, bo je widzimy w sposób oczywisty dla znającego tabliczkę mnożenia. Zajęło to trzy linijki łatwych rachunków. Nie napisałem, że to jest kompletne rozwiązanie, ale zasugerowałem sprawdzenie, czy nie ma innych.

pigor: ..., racja, dokładnie tak i też o tym "milcząco" myślałem, tylko nie chcę .. .na pierwszym etapie komplikować sprawy (wielu mówi − mądrzyć się), to jest oczywiście następne pytanie, np. czy istnieją takie , a takie ... , a jeśli nie , to dlaczego , ale to już wyższy ... lewel.− tak to chyba sie nazywa , prawda