zbadać monotoniczność i obliczyć granicę ciągu Łuki: Witam mam mały problem z generalnie prostym zadankiem, pogubiłem się przy tym przykładzie. zbadać monotoniczność i obliczyć granicę ciągu an=4n−n³ lim=4n−3=+∞ tak? ale z monotonicznością mam problem

Krzysiek: a_n =4n−n³ to a_n →−∞ i nie ma czegoś takiego jak ty napisałeś: "lim=4n−3=+∞ " to tak jakbyś napisał ²=2=4

Łuki: Oglądałem etrapez i typ mowił zeby tak zapisywać. a jak rozw tą granicę?

Łuki: Pomoże ktoś?

Krzysiek: nie wydaje mi się,żeby tak ten 'typ' z etrapezu zapisywał. a_n=4n−n³=n³(4/n²−1)→−∞ bo 4/n²→0 dla n→∞

5-latek: W zadaniach tego typu nalezy wylaczyc przed nawias n w najwyzszej potedze wiec bedzie

	4n		n3
limn→∞=n3(		−		)=∞*(−1)=−∞ wiesz skad to wszystko
	n3		n3

natomiast monotonicznowc to a_n+1−a_n i badasz znak lub zamiast roznicy badasz iloraz

	an+1
	an

PW: Pokaż, że nierówność (1) 4n−n³ < −M jest prawdziwa dla każdej dodatniej M i "prawie wszystkich n", mówiąc ściślej: istnieje n₀, taka że nierówność (1) jest spełniona dla wszystkich n>n₀. To będzie dowód z definicji. Nie trzeba "dokładnie" rozwiązywać nierówności, jedynie pokazać, że przy ustalonym M jesteśmy w stanie pokazać n₀ taką, że dla n>n₀ 4n+M < n³. .

Łuki:

	n2+1
czyli w przykładzie an=
	2n−1

	(n+1)2+1		n2+2n+1
an=		=		=n2+1
	2(n+1)−1		2n+2−1

lim	n2+1		lim		1   n+   n2
		=		n2		=∞
n→∞	2n−1		n→∞		1   2n−   n

Basia: najwyższą potęgę mianownika wyłączamy przed nawias albo, jak ktoś woli (np.ja) dzielimy przez najwyższą potęgę mianownika

n2+1		n(n+1n)
	=		=
2n−1		n(2−1n)

n+1n		+∞+0		+∞
	→		=		= +∞
2−1n		2−0		2

Student: lim 4 (n−1) −5 n→∞ 2 (2n+1)−7