podzielnosc zadanie: Czy istnieje taka liczba naturalna n podzielna przez 3000, że liczba n+6 jest podzielna przez a) 3028 ; b) 3009 ; c) 3014 ; d) 3007 ?

zadanie: ?

Mila: Jakie masz odpowiedzi?

Vax: n = 3000k, więc mamy sprawdzić czy istnieje takie k, że 3028 | 3000k+6 co jest równoważne pytaniu czy istnieją takie całkowite k,m, że 3028m − 3000k = 6, a takie k,m nie istnieją, gdyż lewa strona jest podzielna przez 4 a prawa nie. Ogólnie równanie ax+by = c ma rozwiązanie w liczbach całkowitych x,y wtedy i tylko wtedy, gdy nwd(a,b) | c, w ten sam sposób sprawdzasz pozostałe podpunkty

ICSP: Vax mam pewne pytanie

Vax: Słucham

ICSP: Mamy znaleźć wszystkie funkcje spełniające dane równanie : a) (x−1)f(x+1) = (x+3)f(x−1) b) (x−1) f(x+1) = (x+2) * f (x) i o ile w a) podstawiam x = 1 oraz x = −3 i nie ma problemu to w b) podstawia sie x = 1 , x = 0 , x = −2 Dlaczego w pkt b podstawia się x = 0 oraz pytanie jak znaleźć wszystkie x które trzeba podstawić ?

Vax: f nie powinno być przypadkiem wielomianem? Nie ma żadnego dokładnego schematu, mówiącego jak postępować w takich zadaniach. Podstawiamy takie wartości, żeby pewne składniki nam się skróciły/wyzerowały, co nam da pewne informacje o f. Np w b podstawiamy x=1, gdyż wówczas po lewej stronie czynnik x−1 będzie równy 0 i otrzymamy argument, dla którego f nam się zeruje, tj 0 = 3f(1) ⇔ f(1) = 0 i teraz możemy zauważyć, że podstawiając x=0 po lewej stronie dostaniemy f(1), co jest przecież równe 0, czyli znowu coś ciekawego dostaniemy, tj 0 = 2f(0) ⇔ f(0) = 0, możemy też zauważyć, że po prawej stronie mamy czynnik x+2, więc wstawiając x=−2 dostaniemy po prawej stronie 0, a po lewej −3f(−1), więc f(0) = f(1) = f(−1) = 0, czyli o ile f jest wielomianem dostajemy f(x) = (x−1)x(x+1)Q(x), wstawiamy to do wyjściowego równania i dostajemy: (x−1)x(x+1)(x+2)Q(x+1) = (x+2)(x−1)x(x+1)Q(x) ⇔ Q(x+1) = Q(x) dla nieskończenie wielu x, skąd Q(x) = c, czyli f(x) = c(x−1)x(x+1)

ICSP: Czyli o to chodzi Zapewne po zrobieniu jeszcze kilku przykładów uda mi się to zrozumieć Dzięki za pomoc