Zadanie Piotr 10: Dana jest funkcja f(x)=(k−1)*x³ − 4x²+(k+2)x. Niech p:R→R oznacza funkcję,która parametrowi k przyporządkowuje liczbę pierwiastków równania f(x)=0. Znajdź wszystkie wartości k dla których p(k) jest liczbą parzystą. Moja odpowiedź to k∊{−3 ;−2 ; 1 ;2} Proszę o sprawdzenie

Trivial: W zadaniu nie napisano czy chodzi o różne pierwiastki, czy z uwzględnieniem krotności. Przyjmuję, że chodzi o liczbę pierwiastków z uwzględnieniem krotności. f(x) = (k−1)x³ − 4x² + (k+2)x = x[(k−1)x² − 4x + (k+2)] Ponieważ x = 0 zawsze jest rozwiązaniem, p(k) będzie parzyste tylko wtedy gdy g(x) = (k−1)x² − 4x + (k+2) będzie miało 1 rozwiązanie ⇔ k=1 ∨ Δ=0 Δ = 16 − 4(k−1)(k+2) = 0 k² + k − 6 = 0 (k−2)(k+3) = 0 Zatem k ∊ { −3, 1, 2 } Jeżeli to mają być jednak różne pierwiastki, to sposób jest analogiczny: Ponieważ x = 0 zawsze jest rozwiązaniem, p(k) będzie parzyste tylko wtedy gdy g(x) = (k−1)x² − 4x + (k+2) 1) będzie miało 1 rozwiązanie ⇔ k ∊ { −3, 1, 2 } 2) będzie miało 2 rozwiązania − w tym jedno równe zero ⇔ k = −2 Zatem k ∊ { −3, −2, 1, 2 }

Trivial: Mała poprawka. W przypadku różnych pierwiastków 1) będzie miało 1 rozwiązanie − różne od zera Co na szczęście nie zmienia wyników.

Piotr 10: Ok, dzięki Trivial za sprawdzenie