Wyznacz resztę z dzielenia liczb, odpowiedź uzasadnij krymeer: Mam do zrobienia dwa podobne zadania: 1. Wyznacz resztę z dzielenia przez 3 sumy kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych, odpowiedź uzasadnij. 2. Wyznacz resztę z dzielenia przez 4 sumy kwadratów czterech kolejnych liczb całkowitych. Odpowiedź uzasadnij. Zarówno w pierwszym, jak i w drugim zadaniu otrzymałem resztę 2. (W pierwszym podzieliłem 18n² + 18n + 5 przez 3, gdzie n to liczba naturalna, a w drugim 4x² + 12x + 14 przez 4, gdzie x to liczba całkowita.) Mam jedynie problem z uzasadnieniem tych wyników. Czy ktoś ma jakiś pomysł?

PW: 1. k∊N s = k²+(k+1)² = 2k(k+1)+1 − to jest suma kwadratów dwóch kolejnych liczb naturalnych. Jeżeli k lub k+1 dzieli się przez 3, to reszta z dzielenia s przez 3 jest równa 1. Jeżeli ani k, ani (k+1) nie dzielą się przez 3, to przez 3 dzieli się (k+2), bo wśród trzech kolejnych liczb naturalnych jedna jest podzielna przez 3. Oznacza to, że k+2=3n, czyli s = 2(3n−2)(3n−1)+1 = 2(9n²−9n+2)+1 = 18n²−18n+5+1=3(9n²−9n+2) − s jest liczbą podzielną przez 3.

PW: A nie wiem skąd wzięła mi się jeszcze jedynka przed ostatnim znakiem równości i źle wyłączyłem 3 przed nawias − jest tak jak pisałeś: s= 18n²−16n+5, czyli 3(6n²−6n+1) +2 − liczba, która podzielona przez 3 daje resztę 2. Odpowiedź jest więc złożona: dla pewnych k suma k²+(k+1)² podzielona przez 3 daje resztę 1, a dla pewnych k − resztę 2.

PW: Jeszcze jedna pomyłka, tym razem pisarska − tak jak pisałeś, czyli s=18n²−18n+5. Chyba dzisiaj nie powinienem podpowiadać.