Problem z nierównością logarytmiczną Barti: Mógłby ktoś pokazać jak rozwiązać nierówność tego typu: log₂(x−1) − log₂(x+1)+ log_x+1:x−12>0

Mila: Jaka jest podstawa logarytmu w ostatnim składniku?

Trivial: Trzeba skorzystać z:

	x
1. logb(		) = logbx − logby
	y

	logca
2. logba =
	logcb

3. log_bxⁿ = nlog_bx Ustalamy najpierw dziedzinę: D: x > 1.

	x−1		log22
log2(x−1) − log2(x+1) + log(x+1)/(x−1)2 = log2		+		=
	x+1		x+1   log2   x−1

	x−1		1
= −1*log2(		)−1 +		=
	x+1		x+1   log2   x−1

	x+1		1
= −log2		+
	x−1		x+1   log2   x−1

	x+1
To ma być większe od zera. Podstawiamy u = log2		, x > 1 ⇒ u > 0
	x−1

	1
−u +		> 0 /*u // możemy pomnożyć przez u, gdyż u > 0
	u

−u² + 1 > 0 u² < 1 ⋀ u > 0 u∊(0,1) ⇔ 0 < u < 1 To, że 0 < u wiemy z dziedziny, pozostało rozwiązać u < 1

	x+1
log2		< 1
	x−1

	x+1
		< 2 // znowu możemy pomnożyć przez x−1, gdyż x > 1
	x−1

x+1 < 2x−2 x > 3 ⋀ x > 1 x > 3

Barti:

x+1
x−1

Barti: OK, już rozumiem, dziękuję