Wykaż podzielność liczby przez 1000. Nat: Wykaż, że dla pewnej liczby naturalnej n liczba postaci 9ⁿ −1 jest podzielna przez 1000.

Vax: Załóżmy nie wprost, że taka liczba n nie istnieje. Popatrzmy na reszty z dzielenia przez 1000 liczb 9¹ , 9² , 9³ , ... Wówczas wszystkie są różne. Istotnie, jeżeli dla pewnych m>n liczby 9^m i 9ⁿ dawałby tę samą resztę przy dzieleniu przez 1000, to 1000 | 9^m − 9ⁿ = 9ⁿ(9^m−n−1), czyli 1000 | 9^m−n − 1, sprzeczność, bo to oznacza, że 9^m−n daje resztę 1 przy dzieleniu przez 1000. Czyli w szczególności wszystkie liczby 9¹ , 9² , ... , 9¹⁰⁰¹ dają różne reszty z dzielenia przez 1000, ale wszystkich możliwych reszt jest 1000 (są to 0 , 1 , ... , 999), a tych liczb jest 1001, sprzeczność, która potwierdza słuszność tezy.