Matura Piotr 10: Ciąg (u_n) jest określony wzorem rekurencyjnym u₁=1 oraz u_n+1=4u_n+6 Uzasadnij, że ciąg (a_n) określony wzorem a_n=u_n+2, n∊N⁺, jest ciągiem geometrycznym. Próbowałem to robić, ale się nie udało. Sprawdzałem czy ciąg u_n jest arytmetyczny lub geometryczny, ale też nie jest

Piotr 10: a_n=u_n+2 a₁=1+2=3 a₂=u₂+2=12 a₃=u₃+2=48 Iloraz między tymi wyrazami jest stały q=const c.n.u. Przejdzie takie rozwiązanie ?

Piotr 10: Bo próbowałem to zrobić na początku w inny sposób. Czyli udowodnienie, że

an+1
	=q=const. Ale nie dałem rady. Ale chyba powyższy sposób jest poprawny
an

Krzysiek: a_n+1=u_n+1+2=4u_n+6+2=4(u_n+2)

an+1
	=4
an

pigor: ...., lub np. tak : u_n+1= 4u_n+6 i a_n=u_n+2 , to a_n+1=u_n+1+2= = 4u_n+6+2= 4(u_n+2)= 4a_n , stąd

an+1
	= 4= q i n∊N+ c.n.u. . ...
an

Piotr 10: A mój sposób jest dobry czy nie ?

Godzio: Niestety nie, pokazałeś, że tak może być, ale to nie dowodzi, że tak zawsze jest

Piotr 10: Aha , nie wiem czemu 4 nie wyłączyłem przed nawias...

Piotr 10: c) Wyznacz ogólny wyraz ciągu (a_n) i (u_n) Tyczy się tego samego zadania co podałem wcześniej a_n=a₁*qⁿ⁻¹ a_n=u_n+2 a₁=3 q=4 a_n=3*4ⁿ⁻¹ u_n=a_n − 2 u_n=3*4ⁿ⁻¹ − 2 Dobrze ?

Basia:

Piotr 10: OK, dziękuję

renia: Suma trzeciego i siódmego wyrazu ciągu arytmetycznego jest równa 20, suma kwadratów tych wyrazów jest równa 328. Wyznacz ogólny wyraz tego ciągu.

Basia: dlaczego nie założyłaś własnego postu ? a₃ = a₁+2r a₇ = a₁+6r a₁+2r+a₁+6r = 20 2a₁ + 8r = 20 /:2 a₁+4r = 10 (a₁+2r)² + (a₁+6r)² = 328 a₁²+4a₁r + 4r² + a₁² + 12a₁r + 36r² = 328 2a₁² + 16a₁r+ 40r² = 328 /:2 a₁² + 8a₁r + 20r² = 164 i rozwiązujesz układ równań a₁ = 10−4r (10−4r)² + 8r(10−4r) + 20r² − 164 = 0 100 − 80r + 16r² + 80r − 32r² + 20r² − 164 = 0 4r² − 64 = 0 /:4 r² − 16 = 0 (r−4)(r+4)=0 r = 4 ⇒ a₁=10−16 = −6 ⇒ a_n = −6+(n−1)*4 = −6 + 4n − 4 = 4n−10 lub r = −4 ⇒ a₁=10−(−16) = 26 ⇒ a_n = 26+(n−1)*(−4) = 26 − 4n + 4 = 30−4n

renia: Dziękuję bardzo