Funkcja wymierna lipo: Witam, mam problem z przykładem, nie wiem jak go uprościć

x3+5x2+8x+4
x3+6x2+12x+8

Nawet nie wiem jak go ,,ruszyć,, prosiłbym chociaż o jakąś wskazówkę na start.

ZKS: Ustalona dziedzina?

lipo: Z dziedziną taki sam problem, ponieważ nie mogę rozłożyć tego podobnego wielomianu z licznika na czynniki. Mogejedynie oprzeć się na tym, że jest to wielomian stopnia nieparzystego, więc ma minimum jeden pierwiastek rzeczywisty. Mógłbym skorzystać z dzielników wyrazu wolnego, czyżby tędy droga? Skorzystałem z tego w liczniku, i wyszło mi, że W(−2) = W(−1) = 0 , lecz gdy zapisze to w postaci ilocynowej (x+2)(x+1) to po wymnożeniu nie otrzymam wyrażenia wyjściowego o.o

ZKS: Mianownik możesz grupować 1 z 4 oraz 2 z 3.

ZKS: Licznik rozbij 5x² na x² + 4x². Wtedy coś powinieneś zobaczyć.

liquid: Licznik: x³+5x²+8x+4 = X³+x²+4x²+8x+4 = X³+x²+(2x+2)² =

	1		1
=		x2(2x+2)+(2x+2)2 = (		x2+1)(2x+2)2. Tak jak wcześniej sądziłem, miejscami
	2		2

zerowymi licznika okazały się liczby: {−2;−1}. Ale to wciąż po wymnożeniu nie da postaci początkowej A mianownika nie potrafie grupować, nie wiem dokładnie o co chodzi ,,1 z 4 oraz 2 z 3,,

ZKS: Możesz zauważyć że mianownik to wzór skróconego mnożenia a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³.

hajtowy:

(x+1)(x+2)(x+2)
(x+2)(x−2)2

Dalej już wszystko widać. Pamiętaj o dziedzinie!

hajtowy: Mój błąd... Ma być:

(x+1)(x+2)(x+2)		x+1
	=
(x+2)(x+2)2		x+2

D: x ≠ −2 Odp. x = −1

PW: Z licznikiem walczyć nie warto, najprościej jest sztucznie "coś dodać, coś odjąć", żeby uprościł się z mianownikiem i dopiero się zastanawiać:

x3+5x2+8x+4		x3+6x2+12x+8−x2−4x−4
	=		=
x3+6x2+12x+8		x3+6x2+12x+8

	x2+4x+4		(x+2)2
= 1 −		= 1 −
	x3+6x2+12x+8		x3+6x2+12x+8

To było wolno zrobić przed ustaleniem dziedziny. Zastanawiamy się − jeżeli autor zadania był dowcipny, to powinno się jeszcze dać skrócić. I w tym momencie nadchodzi olśnienie − przecież w mianowniku jest (x+2)³ − kto nie wierzy niech sprawdzi.

liquid: W mianowniku nie zauważyłem wzoru skróconego mnożenia, co było dość prostą ,,przeszkodą,, więc moja głupota. A co do licznika, w przyszłości przy tych troszkę bardziej skomplikowanych działaniach − gdzie mamy potrzebe sprowadzać wielomian do postaci iloczynowej, rozsądnie jest znaleźć w wielomianie miejsca zerowe (gdy inne metody zawiodą) i nimi kombinować i podstawiać do postaci iloczynowej, aż nie otrzymam prawidłowego zapisu? Chodzi mi o to, że w trzecim poście tego tematu wykonałem tą operacje i gdybym posiedział nad nią minute/dwie dłużej, to bym dopisał kwadrat do jednego z nawiasu; (x+2)² i potem reszta zadania powinna już ,,ruszyć,, Dzięki wielkie za pomoc!

PW: Gorąco polecam metodę "coś dodać, coś odjąć" i skrócić. Licznik obniża wtedy stopień o co najmniej 1 i jest łatwiej z nim walczyć. W omawianym przykładzie w liczniku zamiast wielomianu trzeciego stopnia pojawił się trójmian kwadratowy, a więc łatwiej go było rozłożyć.

liquid: Tak postanowiłem zrobić na kolejnym przykładzie

x3+x2−4x−4		x2−x−2+x3−3x−2		x3−3x−2
	=		= 1 +		=
x2−x−2		x2−x−2		x2−x−2

Tu skorzystałem już ze znalezienia miejsca zerowego wyrażenia: x³−3x−2, uzykałem m0 ={−1;2}. Po czym podstawiłem do postaci iloczynowej i w dość szybkim czasie uzyskałem:

	(x+1)2(x−2)		x2−x−2+(x+1)2(x−2)
= 1 +		=		=
	x2−x−2		x2−x−2

(rozkładam wyrażenie x²−x−2 na postać iloczynową za pomocą wyliczenia delty = 9 i x1 = −1, x2= 2.

	(x+1)(x−2)+(x+1)2(x−2)
=
	(x+1)(x−2)

I teraz za bardzo nie wiem co dalej, mimo, ze jakby sie mogło wydawać funkcja jest ładnie przedstawiona w postaci iloczynowej. Nie wiem też, czy w dotychczasowych obliczeniach nie popełniłem błedu (pierwszy raz robię to twoją metodą) Pozdrawiam

liquid: Chyba wiem, a moje rozwiązanie zgadza się z odpowiedziami, uzupełniam, może komuś się przyda.

	(x+1)(x−2)+(x+1)2(x−2)		(x+1)[(x−2)+(x+1)(x−2)]
=		=		=
	(x+1)(x−2)		(x+1)(x−2)

	(x−2)+(x+1)(x−2)		(x−2)[1+(x+1)]
=		=		= 1+(x+1) = x+2
	(x−2)		(x−2)

Aga1.: Tylko nigdzie nie podałeś dziedziny i stracisz punkt.

liquid: D=R\{−1;2}