Zadanie bezendu: Dane jest równanie ze zmienną x i parametrem a: (2a²−8)x+2−a=0 Wyznacz wszystkie wartości parametru a dla których powyższe równanie jest: a) oznaczone b) sprzeczne c) nieoznaczone

	a−2
x=
	2a2−8

	(a−2)
x=
	2(a−2)(a+2)

	1
x=
	2a+4

Mam takie coś jak na razie, proszę o jakieś wskazówki do dalszego rozwiązania

krystek: Wakazowka a) gdy mianownik ≠0 b)gdy licznik≠0 i mianownik =0 c) gdy licznik=0 i mianownik=0

Eta:

	a−2
x=
	2(a−2)(a+2)

dla a =2 −−−− nieoznaczone ( niesk, wiele rozwiązań ,bo licznik i mianownik równocześnie się zerują dla a≠ 2 i a≠ −2 −−− jedno rozwiązanie czyli równanie oznaczone dla a= −2 −−− sprzeczne

bezendu: Witaj Eta sprzeczne dla a=−2 bo mianownik będzie zerem Ale reszty nie rozumiem

bezendu: A po drugie podałaś mi gotowe rozwiązania

Piotr 10: ax+b=0 a) oznaczone(jedno przecięcie się z osią OX) gdy a≠0⋀ b∊R b) sprzeczne(brak m₀) a=0 ⋀ b≠0 c) nieznaczone(wykres funkcji pokrywa się z osią OX) a=0 ⋀ b=0

Eta: Zobacz co napisała Ci krystek dla krystek

Basia: zaczynaj od rozpatrzenia współczynnika przy x a nie od bezprawnego dzielenia 2a² − 8 = 0 /:2 a² − 4 = 0 (a−2)(a+2) = 0 a=2 lub a= −2 1. a=2 podstawiamy 0*x+2−2 = 0 0=0 tożsamość; nieskończenie wiele rozwiązań 2. a= −2 podstawiamy 0*x + 2 − (2) = 0 4 = 0 sprzeczność; nie ma rozwiązania 3. a≠2 i a≠ −2 dopiero teraz wolno Ci podzielić

	a−2		a−2		1
x =		=		=
	2(a2−4)		2(a−2)(a+2)		2(a+2)

jedno rozwiązanie

bezendu: Bardzo dziękuję

Trivial: Za bezprawie jest kryminał!

Basia: dla bezendu jest amnestia

Eta: A co to jest "amnestia" ?

Basia: wrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr

Eta: dla Basi lub zamiana na " f... i"

Basia: jak miło

bezendu: frytki

Basia: bez piwa ?

bezendu: Może być i z piwem

Basia: no to

bezendu:

Basia: a dowód osobisty już jest ?

bezendu: W 2014 ''dwudziestolatki''

asdf: bezendu, zadanie: x³ − 103x + 300 = 0

bezendu: Da się to jakoś sprytnie pogrupować ale pierwiastków to tutaj nie widzę

asdf: są 2 całkowite

ZKS: Wzorami Cardano.

asdf: sorry, x² − 103x + 300 = 0 taki tam szczegół

Saizou : adsf chyba coś ci się pomyliło, bo nie ma pierwiastków całkowitych

bezendu: x²−103x+300=0 x²−100x−3x+300=0 x(x−100)−3(x−100)=0 (x−100)(x−3)=0 x=100 x=3

ZKS: Te 103 aż się o coś prosi.

asdf: to łap kolejne: 3x < √x² + 8

bezendu: x²+8≥0 D=R 9x²<x²+8 9x²−x²<8 8x²<8 /8 x²<1 x²−1<0 (x−1)(x+1)<0 x∊(−∞,−1)∪(1,∞)

ZKS: Taki błąd. Wielbłąd.

asdf: Z innej beczki: Dla których liczb naturalnych n podany wzór jest poprawnym wzorem na sumę n−wyrazowego ciągu arytmetycznego a₁,a₂,...,a_n ?

	a7 + a8 + a12
a) Sn =		* n
	3

	3a11 + a17
b) Sn =		* n
	4

	a7 + a8 + an
c) Sn =		* n
	3

	a4 + a7 + an−9 + an
d) Sn =		* n
	4

Piotr 10: Nie można podnieść do kwadratu chyba bo lewa strona nie wiadomo czy jest dodatnia

ICSP: asdf łap zadanie ode mnie: Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie : a² = b² + 2034

asdf: a² − b² = 2034 (a−b)(a+b)=2034 zaraz coś znajde! przez 3 sie dzieli na bank P.S Po meczu.

Piotr 10: asdf jaki mecz oglądasz ?

Basia: no to podstaw x=0 i zobacz czy spełnia Twoją nierówność spełnia; więc jest źle a źle jest dlatego, że 3x niekoniecznie jest nieujemne rozważasz dwa przypadki: 1. 3x≤0 ⇔ x≤0 3x (niedodatnie) < √x²+8, który jest dodatni x∊(−∞;0> 2. 3x>0 ⇔ x>0 i dopiero przy założeniu, że obie strony nieujemne możesz podnosić obustronnie do kwadratu 9x² < x²+8 8x² < 8 x² < 1 i x>0 x∊(0;1) odp: x∊(−∞,0>∪(0,1) = (−∞;1)

asdf: Real gra

Basia: a²−b² = 2034 (a−b)(a+b) = 2034 2034 = 2*1017 = 2*9*113 wg mnie nie ma rozwiązania w całkowitych w rozkładzie 2034 jest tylko jedna liczba parzysta 2034 = (a+b)(a−b) = parzysta*nieparzysta (jakby nie kombinował) no to musiałoby być a+b = parzysta a−b = nieparzysta (lub na odwrót; ni ma znaczenia) −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− 2a = nieparzysta a to jest niemożliwe jeżeli a∊C ale może się mylę ? kiepsko mi się dzisiaj myśli

ICSP: Oczywiście że to równanie jest sprzeczne

ICSP: Jednak udowodnienie tego zostawiamy już asdf

asdf: D₂₀₃₄ = {1, 2, 3, 6, 9, 18, 113, 226, 339, 678, 1017, 2034}

ICSP: Troszkę dużo opcji

asdf: mało, bo za duza przepasc jest miedzy 19, a 113, a 113 * 226 to juz za duzo, bede po meczu.

5-latek: Basiu mi tez dzisiaj sie kiepsko mysli

Mila: Dla ASDF ciągi a)

	a7 + a8 + a12
Sn=		*n
	3

	a1+6r +a1+7r+a1+11r
Sn=		*n
	3

	3a1+24r
Sn=		*n=(a1+8r)*n=a9*n⇔
	3

n=2*8+1=17 Suma n wyrazów ciągu arytmetycznego S_n=n*a_ⁿ⁺¹2 dla n nieparzystego. można napisać równanie

n+1
	=9
2

W dalszych przykładach może się trafić parzysta liczba wyrazów. To masz wzór:

	n
Sn=(a1+an)*
	2

asdf: Dla mnie − to znaczy rozwiazac, czy rozwiązanie?

ICSP: Masz pokazać że to równanie jest sprzeczne. Czy zrobisz to w jednej linijce czy w 30 linijkach nie robi większej różnicy

asdf: ten mój najbardziej leniwy dowod nie wystarcza?

ICSP: Nie

Gustlik: Basiu, tylko na gotowym wzorku lepiej widać i lepiej się odczytuje z takiego czegoś:

	a−2
x=
	2(a−2)(a+2)

niż z takiego czegoś: (2a2−8)x=a−2 1) Jezeli mianownik≠0 ⇔ 2(a−2)(a+2)≠0⇔a≠2 i a≠−2 ⇔ równanie oznaczone 2) Jeżeli mianownik=0 ⇔ a=2 lub a=−2 Badam dla a=2:

	2−2		0
x=		=		⇒ tożsamość
	2(2−2)(2+2)		0

Badam dla a=−2:

	−2−2		−4
x=		=		⇒ sprzeczność.
	2(−2−2)(−2+2)		0

	0		liczba≠0
Gdy mamy		to jest tożsamość, a gdy mamy		to jest sprzeczność.
	0		0

Tak jest przejrzyściej i uczniowie to lepiej widzą.

Basia:

	0
za napisanie czegoś takiego jak		stawiam wielką jedynkę
	0

alfa: Gustlik nie stawia na myślenie, a proponuje stosować schematy dające dobry wynik, ale w sposób bezmyślny. Ktoś wyznaczający (specjalnie nie używam sformułowania "rozwiązujący") odpowiedź bierze schemacik i ma wynik. Nie na tym polega edukacja.

5-latek: A ja sie w tym momencie zgadzam z Gustlikiem Niech pokazuje jak najwiecej schematow . Zdolniejsi ucznowie inne metody zrozumia na kolkach i innych zajeciach a pzostali zdadza mature rozwiazujac wlasnie schematami . Przyjrzj sie dokladnie zadaniom z matury z poprzednich lat . czy nie sa dane zadania do rozwiazania schematami?

5-latek: A tak miedzy nami . na myslenie to juz dawno MEN nie stawia

Basia: za dzielenie bez odpowiednich założeń też stawiam wielką jedynkę bo właśnie to jest dowodem bezmyślności

5-latek: Witam Basiu . Nie chce tutaj prowadzic dyskusji na temat dzisiejszej edukacji . Zostawmy to . Toz e akuraenie tu nie napisal zalozen to moze kwestia szybkiego pisania czy inna . Zdarza sie kazdemu . Mysle ze w szkole tak samo jak TY czy Gustlik bardzo tego pilnujecie . Nie jestem jego adwokatem ale nie mozna tak naskawiwac jak alfa na Gustlika czy ostatnio xxx na PW . Zaden z nich nie pokazal tak jak Ty alternatywnej metody tylko sie wymadrzaja . To mnie wlasnie denerwuje TY wlasnie tym sie roznisz od nich i masz prawo sie spierac z z nim . A oni ? NIe . POzdrawiam . Zycze milego dnia .

Gustlik: Basiu, a ja stawiam wielka jedynkę tym, którzy negują jakikolwiek poprawny sposób i zmuszaja uczniów do trudnych metod. Ten "mój" sposób jest przejrzysty, a Twój z całym szacunkiem niestety nie. Pozdrawiam. 5−latek pozdrawiam. Ja uczę krótkich sposobów, bo pozwala to z lepszym wynikiem zdać maturę, a dla mniej zdolnych to czasem jest zdać albo nie zdać. Krótki sposób to krótki czas rozwiązywania zadań, a co za tym idzie − więcej zadań rozwiązanych na maturze i lepszy wynik.

Gustlik: Zresztą Basiu moj sposób to ten sam co Ety, tylko bardziej obrazowo napisany.

Trivial: Gustlik, równie dobrze Twoja metoda jest trudna, gdyż "uczeń" widząc takie wyrażenie

	a−2
x =
	2(a−2)(a+2)

może odruchowo chcieć je skrócić do

	1
x =
	2(a+2)

co zresztą bezendu zrobił, a tutaj dla a = 2 nie dzieje się już nic specjalnego.

bezendu: Cześć Trivial A czemu po ustaleniu dziedziny na początku nie mogę tego skrócić ?

Trivial: Jakiej dziedziny? Przecież można wstawić dowolne a do tego równania. Co najwyżej możesz dodać założenie a²−4 ≠ 0 przed podzieleniem i rozpatrzeć ten przypadek osobno. (sposób Basi) Sposób Gustlika to trochę nadużycie notacji, czyli nie jest to do końca matematycznie poprawne, ale jeżeli wiesz co robisz to w niczym nie przeszkadza.

pigor: ... Dane jest równanie ze zmienną x i parametrem a : (2a²−8)x+2−a=0 . Wyznacz wszystkie wartości parametru a, dla których powyższe równanie jest : a) oznaczone b) sprzeczne c) nieoznaczone . −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ..., no to może jeszcze jeden ... "mój" sposób na to zadanie : (2a²−8)x+2−a=0 ⇔ 2(x²−4)x+2−a= 0 ⇔ 2(a−2)(a+2)x+1(a−2)= 0 ⇔ ⇔ (a−2) [2(a+2)x+1]= 0 ⇔ a−2=0 lub 2(a+2)x+1=0 , zatem −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− c) a= 2 i x∊R − równanie nieoznaczone (ma ∞ wiele rozwiązań) ; lub b) a= −2 i 1=0 − równanie sprzeczne (ma 0 rozwiązań) ; a) a≠ −2 i 2(a+2)x= −1 − równanie oznaczone (ma dokładnie jedno

	−1
rozwiązanie dane wzorem x=		). ...
	2(a+2)

Basia: @ 5−latek Matematyka w szkole i na maturze jest także, jeżeli nie przede wszystkim, po to by nauczyć logicznego myślenia. Umiejętność logicznego myślenia jest potrzebna nie tylko matematykom, informatykom i innym ścisłowcom, ale także lekarzom (do postawiania prawidłowej diagnozy i zaordynowanie leków, które nie kolidują z innymi schorzeniami), nauczycielom obojętnie jakiego przedmiotu, logistykom, ekonomistom i nawet facetowi, który ma mi skopać ogródek, bo jeżeli myśli logicznie to i lepiej to zrobi, i mniej się natyra, o fryzjerze i kosmetyczce nie wspominając. Czyli właściwie wszystkim. Dlatego tępię i tępić będę bezmyślne wciskanie młodzieży schematów, bo tego, jeżeli wystarczy mi cierpliwości, to i małpiszona albo jakiegoś inteligentnego szczurka mogę nauczyć.

Gustlik: No właśnie, Basiu, ja po to podaje krótkie metody, żeby uczeń robił logicznie i mniej stę natyrał, tak jak ten robotnik w ogrodzie. Na maturze to zaprocentuje lepszym wynikiem, bo im szybciej się rozwiązuje zadania, tym więcej się ich rozwiąże, a co za tym idzie − zdobędzie się więcej punktów, dla słabszych to może oznaczać "zdać albo nie zdać − oto jest pytanie". Jak słaby uczeń będzie robił szkolną okrężną metodą, to moze nawet nie zdać matury, bo nie dość że nie zdąży zrobić zadań, to jeszcze narobi błędów i na tym dodatkowo straci sporo punktów. Rozwiązując szybką i przejrzystą metodą zrobi zadania szybciej i mniej błędów popełni, a to przełoży się na dodatkowe punkty. Im krótsza droga, tym trudniej zbłądzić.

Basia: Podawaj, to jest mile widziane.

	0		−2
Daruj sobie jednak ułamki postaci		;		itp.
	0		0

Bo to już nie tylko z logiką, ale i z matematyką nie ma nic wspólnego. Chciałabym zobaczyć jednego egzaminatora CKE, który za te śliczne ułamki nie rąbnie 0 punktów. Z marszu.

Gustlik: Basiu Można napisać np. tak:

	a−2
x=		gdy a≠2 i a≠−2 i wtedy mozna bezkarnie podzielić,
	2(a−2)(a+2)

i teraz opisujemy : 1. Dla a≠2 i a≠−2 1 rozwiązanie j.w.,

	2−2		0
2. Dla a=2 mamy x=		=		licznik i mianownik jednocześnie = 0, więc mamy
	2(2−2)(2+2)		0

tożsamość,

	−2−2		−4
3. Dla a=−2 mamy x=		=		licznik ≠0, a mianownik =o mamy sprzeczność
	2(−2−2)(−2+2)		0

Dałem opis jak Eta, tylko zobrazowałem, co dzieje się w "krytycznych" sytuacjach, bo wtedy uczeń lepiej widzi. Myślę, że tego żaden egzaminator nie uwali.

Basia: a skąd ten Twój uczeń ma wiedzieć, że jak licznik i mianownik = 0 to jest tożsamość a jak licznik≠0 i mianownik = 0 to sprzeczność ? może to jednak z czegoś wynika ? i może ktoś kto się uczy matematyki na poziomie rozszerzonym powinien wiedzieć skąd ? bo bezendu właśnie tego ani rusz nie wiedział poza tym wtłocz temu swojemu uczniowi do biednej łepetyny jeszcze jeden schemacik "tak wolno przy równaniu, ale przy nierówności już nie" ogłupisz biedaka do ostateczności

Gustlik: Basiu zasada jest prosta, może zapis nie jest matematyczny, ale na pewno obrazowy:

	0
0x=0 ⇒ x=		⇒ tożsamość,
	0

	−4
0x=−4 ⇒ x=		⇒ dzielenie przez 0 ⇒ sprzeczność
	0

Naprawdę uczniowie lepiej to widzą na tych ułamkach, niż analizując, co dzieje się po lewej i po prawej stronie.

Basia: jeszcze jeden schemacik dla zdolnych małpek tylko wytłumacz jeszcze małpce, że jak będzie mx < m(m+1) to już jej przez to m ani rusz dzielić bez rozpatrywania przypadków nie wolno jak zdolna to może i te znaczki odróżni a nawiasem mówiąc za podzielenie przez wyrażenie z parametrem bez zastrzeżenia, że robimy to ⇔ wyrażenie jest ≠0 odejmuje się punkty "z automatu"; czy się chce czy nie

Gustlik: Basiu, przecież napisałem założenia. Natomiast to można wytłumaczyć w następujący sposób: mx<m(m+1) /:m, m>0

	m(m+1)
x<
	m

dla m<0

	m(m+1)
x>
	m

Trzeba tylko podkreślić, że tamta metoda jest do RÓWNAŃ, a nie do nierówności, żeby uczeń to odróżniał. Poza tym jakoś nie spotkałem się z zadaniami na nierówności liniowe z parametrem, tylko na kwadratowe.

bezendu: Post już dawno nie aktualny, a dyskusja nadal trwa

Basia: ubiegłoroczna klasa pierwsza; poziom rozszerzony; matura 2015 czy przedział <2;+∞) może być zbiorem rozwiązań nierówności p²x − 16 < px takie zadania dzieci robiły i robią; nie jesteś na bieżąco (a i tak je ułatwiłam; bo nie pamiętam początku

pigor: ... nie może być, a o równaniu kwadratowym (tu zmiennej p) uczniowie wcale nie muszą cokolwiek wiedzieć . ...

Basia: równania kwadratowe niezupełne już w gimnazjum się teraz rozwiązuje pigorku

Basia: a dokładnie to ona taka: p²x + 1 < x +p wzory skróconego mnożenia to druga gimnazjalna

Basia: i nie jest tu potrzebna żadna wiedza o funkcji kwadratowej tylko o znaku iloczynu i rachunku zdań, który też był przerobiony na tym jest oparte algebraiczne rozwiązanie bardziej pracochłonne niż obrazkowe p²−1 = (p−1)(p+1) II gimnazjalna (p−1)(p+1) = 0 ⇔ p−1=0 ∨ p+1=0 (p−1)(p+1)>0 ⇔ [ p−1>0 ∧ p+1>0 ] ∨ [p−1<0 ∧ p+1<0] (p−1)(p+1)<0 ⇔ [ p−1>0 ∧ p+1<0 ] ∨ [p−1<0 ∧ p+1>0] pracochłonne, ale są szkoły, w których się tak uczy i słusznie, bo się uczy myśleć

Saizou : jak spór klasyków z romantykami

Lorak: Basiu, są też szkoły, w których tnie się punkty za nie wykonanie rysunku przy rozwiązywaniu nierówności kwadratowych. i w sumie według tego: http://www.cke.edu.pl/files/file/Komunikaty-dyrektora/marzec/pp_schemat-2012.pdf trzeba robić te rysunki. Głupota?

Basia: w schematach oceniania mówi się o tych rysunkach, bo do tej pory praktycznie nie było w szkołach logiki, nie można więc było wymagać od uczniów tej metody rozwiązania (i nadal nie można, bo to nie jest obowiązkowe) nie sądzę jednak, żeby jakikolwiek egzaminator nie uznał poprawnego algebraicznego rozwiązania opartego na rachunku zdań teraz jeżeli nauczyciel chce ma czas na pokazanie tych mechanizmów logicznych i są szkoły, w których się to robi co nie zmienia faktu, że metoda rysunkowa jest skuteczna i szybsza

pigor: ..., chciałbym, aby tę nierówność p²x+1≤ x+p rozwiązywano np. tak : p²x+1≤ x+p ⇔ p²x−x−p+1≤ 0 ⇔ x(p−1)(p+1)−1(p−1)≤ 0 ⇔ ⇔ (p−1) [x(p+1)−1]≤0 ⇔ (p−1≤0 ⋀ x(p+1)−1≥0) ∨ (p−1≥0 ∧ x(p+1)−1≤0) ⇔ ⇔ (p≤ 1 ⋀ x(p+1) ≥1) ∨ (p ≥1 ∧ x(p+1)≤ 1) ⇔

	1		1
⇔ (p< −1 ∧ x≤		) ∨ (p=−1 ∧ x∊∅) ∨ (p >−1 ⋀ x ≥		) ⇔
	p+1		p+1

	1		1
⇔ (p< −1 ∧ x≤		) ∨ (p >−1 ⋀ x ≥		)
	p+1		p+1

a wtedy na pytanie : czy przedział [2;+∞) może być zbiorem rozwiązań tej nierówności ,

	1
wystarczy rozwiązać równanie		= 2 ⇔ p+1= 12 ⇔ p= −12
	p+1

odp. Tak, przedział [2;+∞) może być zbiorem rozwiązań danej nierówności p²x+1≤ x+p , gdy tylko p= −¹₂ . ...