wzór denat:

	1
Czy e we wzorze lim(1+		)n=e to jest jakaś stała czy?
	n

Basia: owszem; e jest stałą; jest to tzw.liczba Eulera, niewymierna ≈ 2,7..................... ciąg a_n = (1+¹_n)ⁿ jest ograniczony i monotoniczny (rosnący) musi więc mieć granicę skończoną i właśnie tę granicę nazwano e

denat: hmm, a jakby to wykazać, że wzór jest ograniczony?

	1
|(1+		)n|<M
	n2

	1		1
(1+		)n<M lub (1+		)n>−M
	n2		n2

n²−n^{2 n}√M+1<0 z tego wychodzi M<1

Basia: wzór jest ograniczony z natury rzeczy, bo gdyby nie był to byś go pisał nadal i nigdy nie skończył a dowód na to, że ciąg a_n = (1+¹_n)ⁿ jest rosnący i ograniczony z dołu liczbą a₁ = (1+¹₁)¹ = 2 a z góry jakąś liczbą mniejszą od 3 znajdziesz w każdym podręczniku do analizy sporo pisania, o ile pamiętam

denat: z dołu ? a nie z góry?

denat: chociaz nie, bo jak e=2,7 to z dołu. Ale przecież, im większy n tym ta liczba sie zmniejsza? ta wiec moze byc jeszcze mniejsza od 2

Basia: jest rosnący więc a₁ = 2 jest jego najmniejszym wyrazem i jednocześnie ogranicza go z dołu z góry ogranicza go właśnie liczba e

denat: No glupoty gadam faktycznie. Jeszcze mam takie pytanie piszemy lim (n)=+∞ czy lim(n)=lim(+∞)=+∞

Basia: a₁ = (1+¹₁)¹ = 2 a₂ = (1+¹₂)² = (³₂)² = ⁹₄ = 2,25 a₃ = (1+¹₃³ = (⁴₃)³ = ⁶⁴₂₇ = 2¹⁰₂₇ > 2,25 i tak dalej; policz sobie jeszcze kilka wyrażenie 1+¹_n maleje, ale wykładnik potęgi rośnie i okazuje się, że ma większą siłę to, że ciąg jest rosnący bardzo łatwo udowodnić

	an+1
wystarczy wykazać, że		>1 bo to ciąg o wyrazach dodatnich
	an

Basia: lim_n→+∞ a_n to n→+∞ powinno być pod lim, ale tu się nie da tak napisać zobacz w Wiki np. tutaj http://pl.wikipedia.org/wiki/Podstawa_logarytmu_naturalnego albo na tej stronie https://matematykaszkolna.pl/strona/305.html to jest napisane w tex−u i wygląda tak jak powinno

denat:

	n
a ten wzór e= lim (		) też jest ważny ? i czy stosuję się go w zadaniach?
	n√n!

Basia: jest prawidłowy; a skoro prawidłowy można stosować (rzadko się z tym spotykałam, ale może np.w informatyce, albo fizyce ma większe powodzenie)

denat: ok, dzięki