Funkcja Technik:

	2x
Funkcja f określona jest wzorem f(x)=		. Udowodnij, że zbiór wartości funkcji f
	x2+1

zawiera się w przedziale <−1,1> Narysowałem tą funkcję i odczytałem zbiór wartości, ale narysowanie nie jest chyba żadnym dowodem Więc zrobiłem jeszcze tak:

2x
	≥−1
x2+1

D=R

2x
	≤1
x2+1

Eta:

	2x
Df=R y=		/*(x2+1)
	x2+1

y*(x²+1) = 2x y*x²−2x+y=0 Δ_y ≥0 Δ_y= 4−4y² ≥0 ⇒ y∊<−1,1>

Basia: jeżeli chcesz to zrobić algebraicznie to raczej postaw sobie takie pytanie: dla jakiej wartości parametru m równanie

2x
	= m
x2+1

ma rozwiązanie 2x = mx² + m mx² − 2x + m = 0 1. m=0 ⇒ mamy równanie −2x=0 x=0 jest rozwiązanie 2. m≠0 jeżeli ma być rozwiązanie to musi być Δ≥0 Δ=4 − 4m² = 4(1−m²) 4(1−m²)≥0 ⇔ 1−m²≥ 0 ⇔ m∊<−1;1>\{0} ponieważ z (1) mamy m=0 równanie ma rozwiązanie dla m∊<−1;1> czyli takie i tylko takie wartości może przyjmować funkcja Twój sposób też jest poprawny oczywiście da się udowodnić, że każda z nierówności, które napisałeś jest prawdziwa dla każdego x∊R co zasadniczo kończy dowód mnożysz przez x²+1 (można bo wiadomo, że x²+1>0) i masz

2x
	≥ −1 ⇔ 2x ≥ −x2−1 ⇔ x2+2x+1≥0 ⇔ (x+1)2 ≥ 0 ⇔ x∊R
x2+1

2x
	≤ 1 ⇔ 2x ≤ x2+1 ⇔ 0≤x2−2x+1 ⇔ (x−1)2≥0 ⇔ x∊R
x2+1

czyli dla każdego x∊R obie nierówności są spełnione, co należało udowodnić pokazałam Ci inny sposób, bo jeżeli w mianowniku nie będzie wyrażenia stale dodatniego lub stale ujemnego będzie dużo roboty z rozważaniem różnych przypadków a sposób pierwszy tej zabawy z przypadkami nie wymaga

Technik: Dziękuję

ZKS: Albo inaczej wiemy że (x − 1)² > 0 oraz −(x + 1)² ≤ 0 więc −(x + 1)² ≤ 0 ≤ (x − 1)² −x² − 2x − 1 ≤ 0 ≤ x² − 2x + 1

	1
−(x2 + 1) ≤ 2x ≤ x2 + 1 / *
	x2 + 1

	2x
−1 ≤		≤ 1
	x2 + 1

ZKS: Oczywiście na samym początku (x − 1)² ≥ 0. Kiedyś widziałem jak ICSP pokazał taki sposób.

Eta:

Mila: Do Technika, Kiełbasa poleca taki sposób , jak u Ety i Basi.

ZKS: Idę na spanko bo widzę że nie przeczytałem do końca postu który napisała Basia ten sam sposób co napisałem. Dobranoc wszystkim.

Mila: Dobranoc