zadanie z sumatorem miki: witam mam problem z zadaniem gdzie trzeba wykorzystac wzór: N IN(f)=(b−a)EBn,Nf(xn) n=0 IN to I z indeksem N, E to sumator. Prosze o przykładowe zadania z wykorzystaniem tego wzoru oraz rozwiązanie chociaz jednego zadania

Trivial: Zapisz to normalnie. Znak sumy ∑ jest na pasku ↑. Indeksy robisz tak: x_n → x_n https://matematykaszkolna.pl/forum/przyklady9.html

miki: dzieki _{⋀ N} I_N(f)=(b−a)∑_Bn,N f(x_n) _n=0

Trivial: Co oznacza to Bn,N?

miki: ⋀ _N IN(f)=(b−a)∑Bn,N f(xn) _n=0

miki: właśnie nie mam pojęcia

miki: sorry jeszcze inaczej: _{⋀ N} I_N(f)=(b−a)∑B_n,N f(xn) _n=0

Trivial: Pomogę z zapisem I_N^⋀(f) = (b−a)∑_n=0..N B_n,N f(x_n). Może ktoś inny wie co to jest.

miki: bo zadanie wygląda tak 3

	1		5
Policzyć całkę ∫(		x3 +		x + 1)dx na przedziale interpolacji i porównać
	6		6

0 z wartością kwadratury dla funkcji f(x) odpowiednie współczynniki kwadratury 1,3,3,1

Basia:

miki: nie wlasnie to I ma daszek nad sobą to nie jest do potęgi

miki: i ten ostatni zapis tego wzoru jest taki o jaki mi chodzilo

Trivial: Zapewne chodzi o kwadratury Newtona−Cotesa (która korzysta z interpolacji Lagrange'a).

	1		5
f(x) =		x3 +		x + 1
	6		6

	81		45
∫03 f(x) dx =		+		+ 3 = 10.125 // wynik dokładny
	24		12

	3h		3−0
I3(f) =		(f(0) + 3f(1) + 3f(2) + f(3)), gdzie h =		= 1
	8		3

	3		3*27
I3(f) =		(1 + 3*2 + 3*4 + 8) =		= 10.125
	8		8

miki: tak tak

miki: bo ja mam troche inny sposob rozwiązania: I_N(f)=(3−0)(¹₈*1+³₈*2+³₈*4+¹₈*8)=10.125 i chciałbym się zapytać skąd te 8−emki i 1, 2, 4, 8?

Trivial: f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = 4, f(3) = 8 Pozostałe liczby są współczynnikami kwadratury. Da się to wyprowadzić, ale jest to dość żmudne. Idea jest taka: przybliżyć funkcję f(x) wielomianem Lagrange'a stopnia co najwyżej N i policzyć całkę z tego wielomianu zamiast z f(x). Uzyskany wynik będzie przybliżeniem całki ∫_a^bf(x)dx ≈ ∫_a^b L_N(x)dx = I_N(f). Wyprowadza się wzory I_N(f) = ∑_k=0..N f(x_k)A_k f(x_k) to po prostu wartość funkcji w punkcie x_k. A_k to współczynniki kwadratury.

	b−a
Dla równo oddalonych węzłów xk, tzn. xk = a + hk, h =		mamy:
	N

	h(−1)N−k
Ak =		*∫0N t(t−1)(t−2)...(t−(k−1))(t−(k+1))...(t−N)dt
	k!(N−k)!

Co można zapisać krócej:

	h(−1)N−k
Ak =		*∫0N ∏s=0..N, s≠k(t−s) dt
	k!(N−k)!

Dodatkowo, współczynniki A_k są symetryczne tzn.: A_N−k = A_k Teraz policzmy współczynniki dla N = 3.

	h*(−1)3
A0 =		∫03 (t−1)(t−2)(t−3)dt =
	0!*3!

	h
= −		*∫03(t3 − (1+2+3)t2 + (1*2 + 2*3 + 3*1)t − 1*2*3)dt
	6

	h
= −		*∫03(t3 − 6t2 + 11t − 6)dt
	6

	h		81		11*9
= −		*[		− 2*27 +		− 6*3]
	6		4		2

	h		9
= −		*(−		)
	6		4

	3h
=		.
	8

Podobnie,

	h*(−1)2
A1 =		∫03 t(t−2)(t−3)dt =
	1!*2!

	h
=		*∫03(t3 − 5t2 + 6t)dt
	2

	h		81		5*27
=		*[		−		+ 3*9]
	2		4		3

	h		9
=		*(		)
	2		4

	3h
= 3*
	8

Z symetrii:

	3h
A2 = A1 = 3*
	8

	3h
A3 = A0 =
	8

Zatem:

	3h		3h		3h		3h
I3(f) = (		*f(x0) + 3*		*f(x1) + 3*		*f(x2) +		*f(x3))
	8		8		8		8

	3h
=		(f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3))
	8

gdzie: x_k = a + kh

	b−a
h =
	3

Podstawiając h mamy:

	b−a
I3(f) =		(f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3))
	8

I stąd biorą się te ósemki.

miki: aha dzięki wielkie !