Funkcja różniczkowalna jest ciągła - dowód... V.Abel: Dobry wieczór Kto z Was potrafi udowodnić, że jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie x₀, to jest ciągła i pokazać, że odwrotne twierdzenie nie jest prawdziwe? Ja się nad tym troszkę zastanawiam i jednak potrzebuję wyjaśnień, bardzo proszę.

PW: Odwrotne przez kontrprzykład: f(x) = |x| jest ciągła w x₀=0, a nie jest w tym punkcie różniczkowalna.

asdf: tzw. "ostrze"

Trivial: Dowód nie wprost: Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w x₀ to istnieje granica właściwa

	f(x)−f(x0)
g = limx→x0
	x−x0

Załóżmy, że funkcja różniczkowalna f jest nieciągła w x₀. Wtedy mamy: lim_x→x0 f(x) − f(x₀) = δ, gdzie δ∊R\{0} Zatem:

	δ
g = [		] = ∞ ∉R
	0

co nie jest granicą właściwą − mamy sprzeczność, a zatem każda funkcja f różniczkowalna w x₀ jest też ciągła w x₀. □

Trivial: Zauważyłem błąd w moim dowodzie (mały, idea jest dobra). Ciekawe czy ktoś wypatrzy.

Basia: już dawno wypatrzyłam δ może się równać ±∞

Trivial: Nie tylko!

Basia: poza tym skąd wiadomo, że lim_x→x0f(x) w ogóle istnieje ?

Basia: zdaje mi się, że łatwiej udowodnić kontrapozycję: nie jest ciągła ⇒ nie jest różniczkowalna ale też trzeba trzy przypadki rozważyć 1. lim_x→x0 f(x) nie istnieje 2. istnieje, ale nie jest skończona 3. istnieje i jest skończona, ale ≠ f(x₀)

Trivial: No właśnie tam jest błąd. Trzeba rozpatrzyć dwa przypadki: lim_x→x0⁺ f(x) − f(x₀) = δ₊, δ₊ ∊R\{0}∪{±∞} lim_x→x0⁻ f(x) − f(x₀) = δ₋, δ₋ ∊R\{0}∪{±∞}

Trivial: I teraz skoro g ma właściwa to tym bardziej muszą być właściwe g₊, g₋, a nie są (dodatkowo mogą być różne).

V.Abel: Cześć, dzięki za zinteresowanie sprawą Trivial dlaczego nieskończoność nie należy do liczb rzeczywistych? Nie można tego jakoś tak wprost? widzę, że będzie z tym zabawa...

Trivial: Ponieważ R = (−∞,+∞). Nawet jeśli chciałbyś dołączyć ±∞ do liczb rzeczywistych, straciłbyś bardzo cenną własność ciała liczb rzeczywistych (chodzi o niezachowanie znaku):

	1
		= x dla x≠0.
	1x

Np. dla x=−∞ miałbyś:

	1		1
		=		= ±∞ ← ± powoduje problem.
	1   −∞		0

Trivial: A czy można jakoś wprost nie wiem. Ten dowód sam wydumałem.

Trivial: A już wiem jak można. Różniczkowalność w punkcie x₀ implikuje, że istnieje granica właściwa

	f(x)−f(x0)
limx→x0		= f'(x0) ∊ R
	x−x0

Zbadajmy warunek ciągłości

	f(x) − f(x0)
limx→x0 [f(x) − f(x0)] = limx→x0 (x−x0)		=
	x−x0

= lim_x→x0 (x−x₀)*f'(x₀) = 0.

Basia:

	f(x)−f(x0)
limx→x0 [f(x)−f(x0)] = limx→x0		*(x−x0) = g*0 = 0
	x−x0

i koniec zabawy

V.Abel: Ok, musze to jeszcze ogranac a implikacja odwrotna?

Trivial: PW już udowodnił przez kontrprzykład.

V.Abel: widzę, ale nie widzę, żeby to było dowód. tak w ogole, co to jest kontrprzykład?

Trivial: Kontrprzykład to przykład dla którego twierdzenie nie zachodzi, a zatem twierdzenie to jest nieprawdziwe. |x| jest ciągłe w R, a nie jest różniczkowalne w punkcie x = 0. Trzeba tylko to pokazać.

Basia: @V.Abel Twierdzenie: każda liczba całkowita jest parzysta Kontrprzykład: nieprawda bo 3 jest liczbą nieparzystą inaczej mówiąc: Twierdzenie: dla każdego x coś zachodzi Obalenie twierdzenia: istnieje takie x, dla którego to coś nie zachodzi jeszcze inaczej: Twierdzę, że każdy kot ma zielone oczy. A Ty mówisz: Nieprawda; mój kot ma czarne. Podałeś kontrprzykład, obaliłeś twierdzenie

Basia: a porządnie rozpisany dowód wygląda tak:

	f(x)−f(x0)
y = f(x) jest różniczkowalna x p−cie x0 ⇔ limx→x0		= g
	x−x0

(istnieje i jest liczbą skończoną) ⇒ [lim_x→x0f(x)] − f(x₀) = lim_x→x0 [ f(x) − f(x₀) ] = // bo f(x₀) nie zależy od x

	f(x)−f(x0)
limx→x0		*(x−x0) =
	xx0

	f(x)−f(x0)
limx→x0		*limx→x0(x−x0) = g*0 = 0 ⇒
	xx0

lim_x→x0f(x) = f(x₀) ⇒_def. y=f(x) jest ciągła w p−cie x₀

V.Abel: Dzięki, ogromne dzięki