Wykaż, że funkcja f jest rosnąca. Blair: Proszę o pomoc. Wykaż, że funkcja f opisana wzorem f(x)=x³ + 5x, gdzie x∊R, jest rosnąca. Z:x₁, x₂ ∊R , x₁ < x₂ ; x₁ − x₂ <0 T: f(x₁)−f(x₂)<0 zaczęłam tak, ale nie wiem czy dobrze.. D−d: f(x₁)−f(x₂)=x₁³ + 5x₁ − x₂³ − 5x₂=(x₁ − x₂)(x₁²+x₁x₂ + x₂²) + 5(x₁−x₂) = (x₁−x₂)(x₁²+x₁x₂ + x₂² + 5).... i nie wiem co dalej x₁ − x₂ <0 z założenia x₁² ≥ 0 x₂² ≥ 0

ZKS: Wszystko dobrze na końcu dostajesz (x₁ − x₂)(x₁² + x₁x₂ + x₂² + 5) teraz wystarczy że pokażesz że x₁² + x₁x₂ + x₂² + 5 jest większe od 0. Inaczej korzystając z pochodnej. f(x) = x³ + 5x ∧ x ∊ R f'(x) = 3x² + 5 ∧ x ∊ R Jeżeli f'(x) > 0 to funkcja f(x) jest rosnąca w danym przedziale 3x² + 5 > 0 ⇒ x ∊ R. Funkcja f(x) jest rosnąca w dla x ∊ R.

Blair: ale jak wykazać, że x₁² + x₁x₂ + x₂² + 5 > 0 bez korzystania z pochodnej?

ZKS: Pokaż że x₁² + x₁x₂ + x₂² > 0 i wiedząc że 5 > 0 to dodając stronami otrzymasz liczbę większą od 0.

Blair: ale jak wykazać ze x₁²+x₁x₂ +x₂² >0? mogę napisać, że x₁²+x₁x₂ +x₂² = x₁²+2x₁x₂ +x₂² −x₁x₂ = (x₁ +x₂)² −x₁x₂ x₁²+2x₁x₂ +x₂² > x₁x₂ x₁²+x₁x₂ +x₂² >0 5>0 x₁²+x₁x₂ +x₂² +5 >0 ? ?

ICSP: Wystarczy że zauważysz że

	1		3
x22 =		x22 +		x22
	4		4

Dalej pewien wzór i odpowiedni komentarz

Blair: aaa!

	1		√3x2
(x1 +		x2)2 + (		)2 ?
	2		2

ICSP: i komentarz

Blair: no, to już jest oczywiste : ) Dziękuję bardzo za podpowiedź ; )

Mila: albo x₁²+x₁x₂+x₂²+5=

	x2		x22
=(x1+		)2−		+x22+5=
	2		4

	x2		3
=(x1+		)2+		x22+5>0
	2		4

PW: f(x₁)−f(x₂)=x₁³ + 5x₁ − x₂³ − 5x₂ = (x₁³−x₂³) + 5(x₁−x₂) − suma dwóch liczb ujemnych dla x₁<x₂. Strasznie skomplikowany sposób wybraliście dla tak prostego zadania. Zakładam, że monotoniczność funkcji x³ jest znana.

ZKS: Niestety PW tak uczą w szkołach. Zobacz że na samym początku napisane zostało przez Blair jakim sposobem ma być to rozwiązane. Może ktoś zobaczy takie rozwiązanie go zaciekawi i będzie tak robił.

PW: Dobrze, dowód z definicji. Tylko po co się nastawiać koniecznie na iloczyn, kiedy suma dwóch ujemnych jest ujemna? Nawet jeśli mielibyśmy udawać, że nic nie wiemy o funkcji g(x)=x³, to prościej byłoby udowodnić, że x₁³−x₂³ < 0. A tak mówiąc między nami, to najprościej byłoby udowodnić, że suma dwóch funkcji rosnących jest funkcją rosnącą. Dowód twierdzenia ogólnego jest łatwiejszy (i to powinno być pokazane na lekcji).

ZKS: Skoro x₁ < x₂ to podnosząc do potęgi trzeciej zachodzi również x₁³ < x₂³ i tyle wystarczy napisać.