Pochodna sinusa - dowód. V.Abel: Cześć! Mam prośbę o znalezienie nieprawidłowości w tym dowodzie: + Pokazać, że pochodną sinusa, jest cosinus. Start: f(x)=sinx

	sin(x+h)−sin(x)		(sinx*cosh+sinh*cosx−sinx)
f'(x)= lim(h→0)		= lim(h→0)		= lim(h→0)
	h		h

	cos(90−x)*cosh+sinh*sin(90−x)−sinx		cos(90−x−h)−cos(90−x)
		= lim(h→0)		= lim(h→0)
	h		h

	180−2x−h   −h   −2*sin( )*sin( )   2   2
		⇒ skracam h z mianownika z sin(h2), bo oba
	h

wyrażenia są prawie równe zeru i finalnie otrzymuję, że f^'(x)= 2 cosx ! Gdzie tu jest błąd? Przecież operuję udowodnionymi, pewnymi tożsamościami przekształcając licznik ilorazu różnicowego, POMOCY, bardzo proszę...

Basia: nie możesz "skrócić" sin(−h/2) z h nawet nie możesz "skrócić" z (−h/2)

	sinx
możesz tylko skorzystać z tego, że limx→0		= 1
	x

(to samo musi być w mianowniku i argumencie sinusa, bo inaczej to nieprawda)

	180−2x−h
−2*sin		*sin(−h2) =
	2

180−2x−h   sin *sin(−h2)   2
	→ sin(180−2x)*1 = cos(2x)
−h2

ale gdzieś jeszcze jest błąd, tyle, że go nie widzę

AS: 1/hsin(−h/2) = −1/2 gdy h → 0 , chyba o to chodziło.

	sin(a*x)
lim(x→0)		= a
	a*x

Basia:

	sin(x+h) − sinx
(sinx)' = limh→0		=
	h

	x+h+x   x+h−x   2cos *sin   2   2
limh→0		=
	h

	2x+h		h
limh→0U{2cos		)*sin		=
	2		2

	2x+h   h   cos *sin   2   2
limh→0		=
	h   2

	2x+h
limh→0cos		*limh→0U{sinh2}{h2 =
	2

	2x+0
cos		*1 = cosx
	2

Basia: aj no widzę przecież

	180−2x
= sin		*1 = sin(90−x)*1 = cosx
	2

ale mój dowód jest szybszy

V.Abel: Ok, dzięki wielkie, jak się pojawi jakieś "ale", to napiszę. Jeszcze raz ogromne dzięki

Basia: powodzenia