wykaż że liczba jest całkowita Iza: wykaż że liczba ³√√5 + 2 − ³√√5 − 2 jest całkowita

Rafał28: Niech x = ³√√5 + 2 − ³√√5 − 2 x³ = √5 + 2 − 3³√(√5 + 2)^{2 3}√√5 −2 + 3³√√5 + 2 ³√(√5 −2)² − √5 + 2 x³ = 4 − 3³√√5 + 2 + 3³√√5 − 2 x³ = 4 − 3x x³ + 3x − 4 = 0 (x − 1)(x² + x + 4) = 0 x = 1

Iza: możesz mi wytłumaczyć skąd się wzieła trzecia linijka? co się stało z tymi ³√)√5+2² ?

Rafał28: −3³√(√5 + 2)^{2 3}√√5 − 2 = −3 ³√√5 + 2 ³√√5 + 2 ³√√5 − 2 = = −3³√√5 + 2 ³√(√5 + 2)(√5 − 2) = −3³√√5 + 2 ³√5 − 4 = −3³√√5 + 2

Trivial: Dużo łatwiej jest to zrozumieć, jeśli nie ma konkretnych liczb, tylko a,b. Najpierw mamy: x = a + b ⇒ x³ = (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) Ale a+b to przecież x, zatem: x³ = a³ + b³ + 3abx. Teraz podstawiamy a = ³√√5+2, b = −³√√5−2 (czyli x = ³√√5+2 + (−³√√5−2)) i mamy: x³ = √5+2 −(√5−2) + 3³√−(√5+2)(√5−2)x x³ = 4 + 3³√−(5−4)x = 4 − 3x. Zatem x jest jednym z pierwiastków wielomianu x³ + 3x − 4 = 0 I teraz wystarczy udowodnić (rozłożyć do postaci iloczynowej), że ten wielomian ma tylko jeden pierwiastek rzeczywisty, a zatem x musi być tym pierwiastkiem. A wyjdzie, że x = 1, zatem x jest całkowite.