Liczby Kostek: Wykaż, że jeśli p jest liczbą pierwszą większą od 3 to p²−1 jest podzielne przez 24 p²−1=(p−1)(p+1) a dalej nie mam pomysłu ?

Nienor: I jeżeli p jest liczbą pierwszą, to grupa liczb: (p−1)(p+1) na pewno dzieli się przez 3, bo iloczyn trzech kolejnych liczby naturalnych zawsze dzieli się przez 3. W tym przypadku rozważmy liczby: (p−1)p(p+1), któraś z nich musi być podzielna przez 3, nie będzie to p, bo jest liczbą pierwszą. p jest na pewno nieparzyste, więc zarówno p−1 jak i p+1 musi być parzyste, a iloczyn dwóch liczb parzystych dzieli się przez 4. Jeżeli liczba dzieli się przez 4 i 3 to dzieli się też i przez 24.

Mila: zał. p− liczba pierwsza, p>3 p−1− liczba parzysta ≥4 p+1 liczba parzysta>4⇔(p−1)*(p+1 dzieli się przez 8 jedna z tych liczb jest podzielna przez 3, p−1,p,p+1 trzy kolejne liczby, p jest liczbą pierwszą , zatem nie dzieli się przez 3, stąd wynika, że przez 3 dzieli się (p−1) lub (p+1)⇔ p²−1 jest podzielne przez 24

Kostek: trzy kolejne liczby ? skąd ? ja mam (p−1)(p+1) tylko

Nienor: Iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych dzieli się przez, bo: a*b*c Jeżeli a=3z+1 (dzieli się przez 3 z resztą 1) to b=3z+2 c=3z+3=3(z+1) → a*b*c dzieli się przez 3, bo c dzieli się przez 3 Jeżeli a=3m+2(dzieli się przez 3 z resztą2) to b=3m+3=3(m+1) → a*b*c dzieli się przez 3, bo b dzieli się przez 3 Jeżeli a dzieli się przez 3 → a*b*c dzieli się przez 3, bo a dzieli się przez 3 Tak samo cztery kolejne liczby naturalne dzielą się przez 4, itp. Tu masz sytuacje, kiedy ta środkowa liczba, czyli p nie może dzielić się przez 3, więc albo p−1, albo p+1 dzielą się przez 3. W moim dowodzie, oczywiście jak zwykle błąd. Ech...

Mila: Abyś zrozumiał jak wyglądają (p−1) i (p+1), to wyjaśniamy jak wyżej. Jeżeli p=7, to masz p−1=6, p+1=8 a liczby 6,7,8 to 3 kolejne liczby naturalne. jeżeli p=13 p−1=12, p+1=14 Widzisz, że p−1, p+1 są parzyste, jedna podzielna przez 4, jedna przez 3. Kombinuj.

Kostek: Mila ale Ty dopisujesz jedną liczbę pośrodku a z rozkładu mam dwie liczby jedną postaci p−1 a drugą p+1

Kostek: Mila ja już uciekam spać będę jutro Dobranoc

Lorak: Wykaż, że jeśli p jest liczbą pierwszą...

Mila: Dobranoc "Jutro będzie dobry dzień."

Kostek: Mila jesteś ?

Mila: Jestem.

Kostek: Możesz zobaczyć na post 22:52 ?

Mila: Kostek, nic Ci nie dopisałam, tylko wyjaśniłam dlaczego (p−1) i (p+1) mają być takie, aby iloczyn dzielił się przez 24, Jeżeli masz liczby:(p−1) i (p+1) to między nimi jest trzecia liczba naturalna, tu będzie p.

Kostek: Mila nadal nie wiem ? Nie znam tych wszystkich własności liczb...

Mila: Przeczytaj co napisałam 22:50.

Kostek: więc są podzielne przez 12 a jak udowodnić podzielność przez 24 ?

Mila: Napisałam , kombinuj. Co druga liczba parzysta jest podzielna przez 4.{ 0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,..} Tam masz 12, 14 − dwie kolejne liczby parzyste. 12 jest podzielne przez 3 i 4 a 14 przez 2 i 7. 12*14=4*3*2*7=24*7 jest podzielne przez 24. Teraz spróbuj zrozumieć uzasadnienie na ogólnym wzorze.

Kostek: OK pomyśle nad tym