Nierówność z wartością bezwzględną jakubs: Mam problem z rozwiązaniem nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiąż nierówność: a) ||x+1|−x|≤2 |x+1|≤2+x ⋀ |x+1|≥x−2 x+1≤2+x ⋀ x+1≥−2−x ⋀ x+1≥x−2 ⋁ x+1≤2−x 1≤2 ⋀ x≥−³₂ ⋀ 1≥−2 ⋁ x≤¹₂ W odpowiedziach jest wynik : x∊<−³₂;+∞) Co robię zle ?

PW: Rozwiązania nierówności |x+1|≤2+x i |x+1|≤x−2 Prawe strony nie są liczbami dodatnimi, więc nie można tak rozumować jak napisałeś. Na przykład druga z nich jest fałszywa dla wszystkich x<2 (bo prawa strona ujemna)

PW: Aj, zamieniłem nierówność na przeciwną. Ale uwaga dalej aktualna: |u|≥a ⇔ u<−a lub u>a jest zdaniem prawdziwym, ale dla dodatniej a.

jakubs: Czyli w odpowiedzi powinienem brać tylko lewą stronę?

jakubs: b) |x+5|−|x−2|≤3 rozwiązuje w 3 przedziałach: 1.x∊(−∞;−5) −x−5+x−2≤3 −7≤3 2.x∊<−5;2) x+5+x−2≤3 x≤0 3.x∊<2;+∞) x+5−x+2≤3 7≤3 w odpowiedziach wynik ; x∊(−∞;−0>

5-latek: no i dobra jest odpowiedz Zobacz dla 1 przedzialu masz −7≤3 czyli prawda a wiec wszystkie liczby z tego przedzialu spelniaja ta nierownosc Dla drugiego przedzialu x≤0 czyli x∊(−∞ ,0> Trzeci przedzial to sprzecznosc bo 7≥3 czyli rozwiazaniem tej nierownosci jest suma 1 i 2 przedzialu czyli (−∞ −5)U(−∞,0> To suma jest przedzial (−∞,0>

Kostek: |x+5|−|x−2|≤3 1⁰ (−∞,−5) −x−5−(−x+2)≤3 −x−5+x−2≤3 0≤10 czyli cały przedział jest rozwiązaniem 2⁰ <−5,2) x+5−(−x+2)≤3 x+5+x−2≤3 2x≤0 x≤0 x∊<−5,0> 3⁰ <2,∞) x+5−(x−2)≤3 x+5−x+2≤3 0≤−4 x∊<2,∞) to jest prawda więc chyba coś nie tak

PW: 1. dla x≤−5 nierówność ma postać −x−5−(−x+2)≤3, x∊(−∞,−5) −5−2≤3, x∊(−∞,−5) Jest to zdanie prawdziwe dla wszystkich x z dziedziny nierówności, a więc rozwiązaniem nierówności jest (−∞,−5). 2. x+5+x−2≤3, x∊<−5,2) 2x≤0, x∊<−5,2) Rozwiązaniem są wszystkie niedodatnie x należące do dziedziny, czyli <−5,0>. 3. Nie ma x∊<2,∞) spełniających nierówność Odpowiedź jest poprawna.

Kostek: 0≤−4 jest spełniony jeden warunek więc to chyba jest prawda ?

PW: Nie, nierówność dla x≥2 ma postać 7≤3, jest fałszywa

Kostek: ale czemu skoro ? j0 ≤−4 spełniony jest jeden warunek alternatywy więc to zdanie jest prawdziwe ?

5-latek: Moj blad ale jak zwykle Rozwiazaniem drugiego przedzialu to przedzial <−5,0>

jakubs: Ok przykład b rozumiem, ale w tym a to dalej nie rozumiem

5-latek: Kostek tak sie nie rozwiazuje jakTY to robisz Jesli CI sie zredukuja niewiadome po lewej stronie to zostawiasz te wiadone co zostaly po lewej i piszesz znak nierownosci i to co jest po prawej i wtedy sprawdzasz czy to jest prawda czy falsz

Kostek: ok dzięki

Trivial: Kostek, przecież 0 ≤ −4 to fałsz.

jakubs: Mógłby mi ktoś pokazać jak poprawnie rozwiązać a) ||x+1|−x|≤2

Trivial: ||x+1| − x| ≤ 2 |x+1| − x ≤ 2 ⋀ |x+1| − x ≥ −2 |x+1| ≤ x+2 |x+1| ≥ x−2 Ponieważ nie można jednoznacznie określić znaku prawej strony w obu przypadkach (mamy zależność od x i nic na temat x nie wiemy) musimy rozbić możliwe wartości x na przedziały. 1. x+1 ≥ 0 ⇔ x ≥ −1 x+1 ≤ x+2 ⋀ x+1 ≥ x−2 1 ≤ 2 OK 1 ≥ −2 OK x ∊ [−1,+∞) 2. x+1 < 0 ⇔ x < −1 −x−1 ≤ x+2 ⋀ −x−1 ≥ x−2 −3 ≤ 2x 1 ≥ 2x x ≥ −³₂ x ≤ ¹₂ x ∊ [−³₂,¹₂] ⋀ x ∊ (−∞,−1) x ∊ [−³₂,−1) Zatem x ∊ [−³₂,−1)∪[−1,+∞) ⇒ x∊[−³₂, +∞)

PW: Nierówność tę rozpatrujemy na dwóch przedziałach: x∊(−∞,−1) oraz na <1,∞). Dla x∊(−∞,−1) mamy: |−x−1−x|≤2, x∊(−∞,−1) |−2x−1|≤2, x∊(−∞,−1) −2≤−2x−1≤2, x∊(−∞,−1) −1≤ −2x ≤3, x∊(−∞,−1)

	1		3
		≥ x ≥ −		, x∊(−∞,−1)
	2		2

	3
Rozwiązaniem jest < −		, −1)
	2

Dla x∊<−1,∞) mamy: |x+1−x|≤2, x∊<−1,∞) |1|≤2, x∊<−1,∞) Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich x z dziedziny, rozwiązaniem są wszystkie x∊<−1,∞).

	3		3
Odpowiedź: Rozwiązaniami są wszystkie x∊< −		, −1)∪<−1,∞) = < −		,∞)
	2		2

PW: Przepraszam, niepotrzebnie pisałem (w tym czasie musiałem wyjść porozmawiać z piecem).

Eta:

PW: No to jeszcze chochlik w moim pierwszym wierszu, powinno być oczywiście "oraz na <−1,∞)".

Eta:

PW: Eta, jestem starszym kotłowym (czytaj: prezesem małej Wspólnoty Mieszkaniowej).

jakubs: Już wszystko rozumiem, dziękuje wam wszystkim po raz kolejny za pomoc i poświęcony czas. Dobranoc wszystkim