Wyznacz liczby całkowite dodatnie n - matura pr immfine : MATURA ROZSZERZONA: Wyznacz wszystkie liczby całkowite dodatnie n, dla których wartość wyrażenia 2(n−2) _____________ n³ − 3n² + n + 2 jest liczbą całkowitą. Proszę o pomoc, bo sobie nie radzę i póki co robię dziesiątki kolejnych, na które mam pomysł. Z góry serdecznie dziękuję!

bezendu:

2(n−2)		2(n−2)
	=
n3−3n2+n+2		(n−2)(n2−n−1)

2
	chyba jakoś tak
n2−n−1

ZKS: A gdzie dziedzina wcięło?

bezendu: dziedzina to nie problem, chodzi o dalszą część zadania

ZKS: Nie chodzi czy dziedzina to problem czy nie ale chodzi o to że jeżeli nie ustalimy dziedziny to nie można robić jakichkolwiek uproszczeń wyrażenia. A co jest trudnego w dalszej części zadania?

Mila: W(n)=n³ − 3n² + n + 2 rozkladamy na iloczyn W(2)=8−3*4+2+2=0 Schemat Hornera 1 −3 1 2 n=2 1 −1 −1 0 n³ − 3n² + n + 2=(n−2)*(n²−n−1)

2(n−2)		2
	=		dla n≠2
(n−2)*(n2−n−1)		n2−n−1

2
	∊N+⇔
n2−n−1

1) n²−n−1=1⇔ n²−n−2=0 Δ=9 n=−1∉D lub n=2∉D lub 2) n²−n−1=−1 n²−n=0 n*(n−1)=0 n=0 ∉D lub n=1∊D lub 3) n²−n−1=2 sama rozwiąż lub 4)n²−n−1=−2 sama rozwiąż

bezendu: Jak zobaczyłem rozwiązanie Mili to sobie przypomniałem jak robi się te zadania

asdf:

	2
zauważ, że liczbą całkowitą nie będzie		, bo 3 > 2, w zadaniu jest także "dodatnie" co
	3

już zadanie rozbija na 2 przypadki..To jest zadanie z matury rozszerzonej?

immfine : Tak i zamierzam do niej podejść, dlatego zależy mi na szczegółowej pomocy w rozwiązaniu tego zadania. Jeśli ktoś czułby się na siłach zrobić je od początku do końca, to bardzo proszę, bo ja najlepiej uczę się analizując.

Janek191: ( n³ − 3n² + n + 2 ) : ( n − 2) = n² − n − 1 −n³ + 2 n² −−−−−−−−−− − n² + n n² − 2n −−−−−−−−−−−−−− − n + 2 n − 2 −−−−−−−−−− 0 więc

2( n − 2)		2 (n −2)		2
	=		=
n3 − 3n2 + n + 2		( n − 2)*( n2 − n − 1)		n2 − n − 1

zatem n² − n − 1 = 1 lub n² − n − 1 = 2 n² − n − 2 = 0 lub n² − n − 3 = 0 − nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych > 0. ( n − 2)*( n + 1) = 0 n = 2 lub n = − 1 < 0 − odpada n = 2 − odpada, bo dla n = 2 mianownik = 0 Odp. Nie ma takich liczb n > 0. ===========================

ZKS: Przecież to n ma być dodatnie a nie wyrażenie n² − n − 1. Wszyscy wpadli tylko Mila rozważyła wartości ujemne dla wyrażenia n² − n − 1.

Janek191: Nie doczytałem, że wynik ma być liczbą całkowitą dowolną, zatem dodatkowo n² − n − 1 = − 1 lub n² − n − 1 = − 2 n² − n = 0 lub n² − n + 1 = 0 − brak rozwiązań n*( n − 1) = 0 n = 0 − odpada n = 1 Odp. n = 1 =============

immfine : Janek 191, dziękuję bardzo! Czy jesteś pewien swojego rozwiązania?

immfine : I pozostałym również bardzo serdecznie dziękuję za wskazówki i rozwiązania, są one dla mnie bardzo cenne!

Dongat: Coś mi się wydaje, że Wasze pomysły nie wyczerpują wszystkich możliwości. Przecież mianownik może przyjmować wartości 1/2, 1/3, 1/4 itd, oczywiście z minusem też i wartość wyrażenia będzie liczbą całkowitą. Pozdrawiam.

Dongat: Sorry, nie doczytałem zadania, wycofuję uwagę.

ZKS:

	1
A czy		jest liczbą całkowitą?
	2

immfine : Nie jest.

immfine : Ale dziękuję za zainteresowanie zadaniem