f. wykładnicza hajtowy: Rozwiąż układ równań: {3^x+3^y=28 {3^x+y=27 help...

Tadeusz: z drugiego x+y=3 y=3−x do pierwszego 3^x+3^3−x=28 ... dalej poradzisz −

hajtowy: 3^x+y=3³ x+y=3 −> y=3−x 3^x+3^3−x=28 no dobra... ale teraz to jak? x+3−x=28 3=28 ...?

Vax: Niech a=3^x , b=3^y, wówczas x+y = 28 , xy = 27, czyli ze wzorów Viete'a, a,b są pierwiastkami t² − 28t + 27 = 0 ⇔ (t−1)(t−27) = 0, czyli a=1 , b=27 lub a=27 , b=1 ⇔ x=0 , y=3 lub x=3 , y=0.

Janek191: 3^x + 3^y = 28 ⇒ 3^y = 28 − 3^x 3^{x + y} = 27 −−−−−−−−−−−− 3^y = 28 − 3^x 3^x * 3^y = 27 −−−−−−−−−− 3^x *(28 − 3^x) = 27 t = 3^x t*( 28 − t) = 27 28 t − t² = 27 t² − 28 t + 27 = 0 Δ = ( −28)² − 4*1*27 = 784 − 108 = 676 √Δ = 26

	28 − 26		28 + 26
t =		= 1 ∨ t =		= 27
	2		2

więc 3^x = 1 ∨ 3^x = 27 x = 0 ∨ x = 3 zatem 3^y = 28 − 3^x = 28 − 1 = 27 ∨ 3^y = 28 − 27 = 1 y = 3 ∨ y = 0 Odp. x = 0 , y = 3 lub x = 3 , y = 0 =======================================

Janek191: 3^x + 3^y = 28 ⇒ 3^y = 28 − 3^x 3^{x + y} = 27 −−−−−−−−−−−− 3^y = 28 − 3^x 3^x * 3^y = 27 −−−−−−−−−− 3^x *(28 − 3^x) = 27 t = 3^x t*( 28 − t) = 27 28 t − t² = 27 t² − 28 t + 27 = 0 Δ = ( −28)² − 4*1*27 = 784 − 108 = 676 √Δ = 26

	28 − 26		28 + 26
t =		= 1 ∨ t =		= 27
	2		2

więc 3^x = 1 ∨ 3^x = 27 x = 0 ∨ x = 3 zatem 3^y = 28 − 3^x = 28 − 1 = 27 ∨ 3^y = 28 − 27 = 1 y = 3 ∨ y = 0 Odp. x = 0 , y = 3 lub x = 3 , y = 0 =======================================

Janek191: 3^x + 3^y = 28 ⇒ 3^y = 28 − 3^x 3^{x + y} = 27 −−−−−−−−−−−− 3^y = 28 − 3^x 3^x * 3^y = 27 −−−−−−−−−− 3^x *(28 − 3^x) = 27 t = 3^x t*( 28 − t) = 27 28 t − t² = 27 t² − 28 t + 27 = 0 Δ = ( −28)² − 4*1*27 = 784 − 108 = 676 √Δ = 26

	28 − 26		28 + 26
t =		= 1 ∨ t =		= 27
	2		2

więc 3^x = 1 ∨ 3^x = 27 x = 0 ∨ x = 3 zatem 3^y = 28 − 3^x = 28 − 1 = 27 ∨ 3^y = 28 − 27 = 1 y = 3 ∨ y = 0 Odp. x = 0 , y = 3 lub x = 3 , y = 0 =======================================

hajtowy: Janek191 dzięki

Vax: Tam u mnie wcześniej literówka, powinno być a+b=28 , ab=27

ciekawsky: ja tam nie wiem po co tyle pisac, nie prosciej przedstawic to tak: 28=3⁰+3³ 3^x+3^y=3⁰+3³⇒x=3,y=0 ∨ x=0, y=3

Vax: A skąd wiesz, że nie da się na inne sposoby tego przedstawić?

Trivial: Sposób Vaxa zdecydowanie najlepszy.

ciekawsky: A niby jak skoro x+y=3 i mowimy o ℛ?

ZKS: Vax ma racje przecież to nie rozwiązanie a tylko zauważenie że x = 0 oraz y = 3 lub odwrotnie spełniają to równanie.

ciekawsky: zgadzam sie, ale często tak robimy, np. 2^x=2² Piszemy x=2 zamiast np. log₂ 2²=x ⇒x=2 Po co utrudniac sobie zycie Pozdrawiam

ZKS: Piszemy tak bo tak właśnie się rozwiązuje natomiast tutaj mamy dwie zmienne i Twoje rozwiązanie polegało na odgadnięciu rozwiązań a nie rozwiązaniu. Równanie typu aⁿ = a^m rozwiązujemy poprzez porównanie wykładników bo tylko wtedy zajdzie nam równość kiedy te same podstawy będą miały takie same wykładniki i nie musimy logarytmować tutaj stronami.

ciekawsky: Dobra teraz rozumiem, po prostu, dla mnie odgadywanie = metoda prob i bledow natomiast, ja widzac 28 i 27 blisko siebie, od razu pomyslalem ze jedna z rozw. moze byc zerem, potem obliczylem sobie, ze x+y=3 (co rowniez widac od razu) i bylo dla mnie jasne, ze to rozwiazanie. Przepraszam w takim razie, nie zrozumielismy sie

ZKS: Odgadywanie to nie jest najlepszy sposób rozwiązywania ponieważ zawsze coś można pominąć poza tym nie wiem czy takie rozwiązanie poprzez odgadnięcie by gdzieś przeszło jako poprawne rozwiązanie. Można jedynie się wspierać takim odgadywaniem rozwiązania i spróbować rozwiązać równanie aby dojść do odgadniętego wyniku.

Gustlik: {3^x+3^y=28 {3^x+y=27 Z drugiego: 3^x+y=3³ x+y=3 y=3−x Podstawiasz do pierwszego: 3^x+3^3−x=28

	33
3x+		=28
	3x

t=3^x, t>0

	27
t+		=28 /*t
	t

t²+27=28t t²−28t+27=0 Δ, t₁, t₂, odrzuć ewentualne ujemne pierwiastki, bo t=3^x>0 potem wróć do starej zmiennej, czyli 3^x=t₁, 3^x=t₂, a następnie oblicz y₁ i y₂. Myślę, że sobie poradzisz.