Funkcja wykładnicza, parametr. Paweł: Witam, Mam problem z zadankiem z funkcji wykładniczej. Mam jutro sprawdzian, a podobno ma być zadanie tego typu, więc proszę o pomoc. Oto one: Dla jakich wartości parametru m∊R, równanie 3^2x + 3^2x−1 + 3^2x−2 + ....=(1−m)*3^x − 1,5m² Ma 2 różne rozwiązania?

Nienor:

	1		1		3
9x(1+		+		+...)=(1−m)*3x−		m2
	3		9		2

Ta lewa strona nie ma końca Brałeś szereg geometryczny

Piotr 10: Szeregu geometrycznego nie ma teraz w programie nauczania w liceum, więc takiego zadania nie powinieneś mieć

Nienor: Ja tam miałam z niego sprawdzian w liceum Piotr, więc pytam.

Paweł: Jeszcze nie. Ok to zaraz napisze jak mi wyszło. Dzięki.

Paweł: Jestem w 3 liceum, jade jeszcze starym programem, dklatego mam

pigor: ...sądzę, że twój N−l(ka) olewa podstawę programową i ja go(ją) rozumiem , a nawet popieram . ...

Paweł: lewa strona wyszła mi 9^x * 3/2. Co teraz?

Nienor:

	3
Znaczy na upartego, to jest funkcja a*9x=(1−m)*3x−		m2, bo ten szereg ma określoną
	2

wartość, ma granicę.

Piotr 10: Ja też jestem w III kl liceum i pani profesor powiedziała, że szeregu geometrycznego nie robimy, bo nie ma w programie nauczania tego i woli poćwiczyć inne zadania na maturę

Paweł: Do rozszerzonej matury chyba sie to przyda.

Paweł: Jak wszystko przeniosłem na jedną stronę i to delta wychodzi zawsze dodatnia, więc dla każdego m równanie powinno mieć 2 rozwiązania, ale chyba popełniłem błąd, bo jeśli prawa strona będzie ujemna to wyjdzie sprzeczność. Jakieś rady, albo wskazówki?

Piotr 10: W rozszerzeniu też tego nie ma w programie nauczania, aczkolwiek sam te zadania robiłem, bo są ciekawe i w miarę proste

Paweł: wykonalne wg to zadanie?

Nienor: m nie jest niewiadomą. m tylko tak jakby ,,rozszerza,, funkcję lub ją przesuwa góra/dół. hmm...

	2
9x=		(m−1)*3x−m2
	3

nie widzę tu eleganckiego sposobu (powiedzmy, że jest późno ) m>1 → brak rozwiązań, bo lewa strona jest cały czas nad osią OX, a lewa bywa pod (dla 3⁰=1, a funkcja kwadratowa dla tych m−ów rośnie szybciej niż linowa). Przetną się te dwie funkcje raz tylko, czyli jedno rozwiązanie. m<1 prawa strona musi być na tyle wysoko, aby choć jej część zachaczyła dwa razy o 9^x, z tym, że nie możemy wtedy tej funkcji wznieść nad 0, bo zawsze −m² zaniża pod oś OX. m=1 9^x=1 1 rozwiązania − funkcja wykładnicza jest różnowartościowa. Czyli nie ma takich m. Nie wiem na ile to może prześć.

pigor: ..., tak, szereg po lewej jest zbieżny do ³₂*9^x, więc masz równanie kwadratowe : ³₂9^x= (1−m)3^x−1,5m² /* 2 ⇔ 3(3^x)²−2(1−m)3^x+3m²= 0 − równanie zmiennej 3^x>0 ma 2 różne rozwiązania ⇔ są one dodatnie, co ma miejsce ⇔ ⇔ Δ >0 i 3m²>0 i −2(1−m) >0 ⇔ 4(1−m)²−12*3m² >0 i m≠0 i 1−m< 0 ⇔ ⇔ (1−m)²−9m² >0 i m≠0 i m >1 ⇔ (1−m−3m)(1−m+3m) >0 i m>1 ⇔ ⇔ −4(m−¹₄)*2(m+¹₂) >0 i m>1 ⇔ (m−¹₄)(m+¹₂)< 0 i m>1 ⇔ ⇔ −¹₂< m < ¹₄ i m>1 ⇔ m∊∅ i tyle, ciekawe, bo wyszło mi,że nie istnieje m spełniające warunki zadania, cóz może gdzieś się ... walnąłem

Paweł: pigor możesz mi napisać jakie masz a,b,c w funkcji kwadratowej. Bo mi sie wydaje,że błąd sie tam zakradł do delty

pigor: ..., hmm, "moje" współczynniki, to a= 3, b= −2(1−m), c=3m² i tak , masz rację (wziąłem zly znak) i układ warunków powinien być taki : Δ >0 i 3m²>0 i +2(1−m) >0 ⇔ ... ⇔ −¹₂< m < ¹₄ i m≠0 i m<1 ⇔ ⇔ −¹₂< m < 0 lub 0 < m < ¹₄ ⇔ m∊(−¹₂;0)U(¹₂;¹₄) . ...

pigor: .... końcowy wynik ,źle powinienem tak :...m∊(−¹₂;0) U (0;¹₄)

Paweł: ok, dzięki

Paweł: Po podstawieniu ¹₆ wychodzi jedno miejsce zerowe dodatnie a drugie ujemne.

Paweł: A to chyba źle