rzowiąż równanie stripe: Rozwiąż równanie:

	x3 + 8
√		≥x−2
	x

Nienor: 1. Policz dziedzinę

	x3+8
x≠0 ∧		≥0 ⇔ (x3+8)x≥0
	x

(x+2)(x²−2x+2)x≥0 x∊(−∞,−2]∪(0,+∞) 2.x−2<0 x<2 Lewa strona dodatnia, prawa ujemna, spełnione zawsze (w dziedzinie rzwiązań) x∊(−∞,−2]∪(0,2) 3.x−2>0 x>2 Zakładamy, że obie strony są dodatnie Funkcja kwadratowa dla x>0 jest funkcją różnowartościową i rosnącą, czyli można wnioskować: Jeżeli a,b>0 i a²≥b² to a≥b

x3+8
	≥x2−4x+4
x

x³+8≥x³−4x²+4x x²−x+2≥0 Δ=−7 x∊ℛ(plus dziedzina) x∊(2,+∞) 4. x−2=0 x=2

23+8
	≥0
2

8≥0 x=2 spełnia równanie. Podsumowując: x∊(−∞,2]∪(0,+∞) Dawno tego nie robiłam, więc nie wiem, na ile to ,,przejdzie''.

PW: Zacznijmy nietypowo, nie ustalając dziedziny nierówności możemy mieć pewność, że rozwiązaniami są wszystkie liczby x≤2 (należące do dziedziny),, gdyż prawa strona nierówności jest dla takich x liczbą ujemną lub zerem, a lewa − nieujemną. Teraz ustalmy dziedzinę. Z uwagi na definicję pierwiastka i fakt, że dzielenie przez zero nie jest zdefiniowane, dziedziną są x, dla których

	x3+8
		≥0 i x≠0
	x

(x³+8)•x≥0 i x≠0 (x+2)•(x²−2x+4)•x≥0 i x≠0 Drugi czynnik jest trójmianem o wyróżniku Δ<0 i dodatnim współczynniku przy x², przyjmuje zatem tylko wartości dodatnie, wobec tego dziedziną jest zbiór x, dla których x(x+2)≥0 i x≠0. Warto narysować tu parabolę o miejscach zerowych 0 i −2 i podpisać: dziedziną jest zbiór (−∞,−2>∪(0,∞). Po połączeniu tej informacji z początkową uwagą mamy już część odpowiedzi: na pewno rozwiązaniami są wszystkie x∊(−∞,−2>∪(0,2>. Pozostaje rozwiązać zadaną nierówność dla x∊(2,+∞). Dla takich x obie strony nierówności są liczbami dodatnimi, podniesienie nierówności stronami do kwadratu daje nierówność równoważną:

	x3+8
		≥(x−2)2, x∊(2,+∞)
	x

x³+8≥x(x²−4x+4) x³+8≥x³−4x²+4x x²−x+2≥0, która nie ma rozwiązań. Udzielić odpowiedzi. Skoro już bawimy się, to podam jeszcze "mniej szkolny" sposób rozwiązania zadanej nierówności dla x>2

	x3+8		8
f(x) =		=x2+		>x2,
	x		x

a więc √f(x) > √x² = x >x−2

PW: Nienor, jakbyśmy byli od jednej matki, tyle że ja dłużej pisałem (nie widziałem oczywiście Twojego rozwiązania, sam byłem "w trakcie")

ZKS: Rozwiązaniem jest x ∊ (− ∞ ; −2] ∪ (0 ; ∞).

PW: [N{ZKS]] , dobrze że jesteś, dziękuję. Wspaniały wniosek wyciągnąłem o nierówności x²−x+2≥0. Dobrze chociaż, że moja druga wersja miała prawidłowy przebieg. Jednak przy pisaniu "on line" uwaga jest mocno rozproszona i nawet nie zauważyłem, że wniosek wyżej był odwrotny.

ZKS: Sugerowałem się ostateczną odpowiedzią jaką napisała Nienor ale widocznie tam był chochlik.

ZKS: Proponowany sposób "mniej szkolny" jest świetny. Gratuluję pomysłu.

PW:

stripe: o kurcze! dzięki wielkie jeszcze nie przeanalizowałem, ale już się za to zabieram