Rozwiąż nierówności Michałs: Witam. Mam taką nierówność. √x+1 − √x−2 ≤ 1 Ustalam dziedzinę nierówności. Jak się zabierać do tego typu nierówności. Zależy mi na rozwiązaniu metodą algebraiczną. W tym przypadku mogę potęgować obustronnie bo dla każdego x≥2 lewa strona i tak będzie dodatnia. Tutaj kilka wątpliwości: 1) Jak uzasadnić, że dla każdego x≥2 mamy √x+1 − √x−2>0? Wiem wystarczy podstawić kilka pierwszych wyrazów i mamy pewien schemat, ale mi to nie wystarcza. 2) Kiedy można podnosić nierówność obustronnie do kwadratu, czy innej potęgi. Jak się wtedy zmieniają znaki? 3) Czy ktoś ma fajną stronę opisującą tego typu nierówności jak wyżej? Mam nadzieję, że wiecie o co mi chodzi. Dzięki.

Trivial: 1) Wystarczy zauważyć, że skoro funkcja √u jest rosnąca, to oczywiste jest, że √x+1 > √x−2 ⇔ √x−1 − √x−2 > 0 2) Do nieparzystej można zawsze, do parzystej tylko jeśli obie strony ≥ 0. Znaki nierówności się wtedy nie zmieniają. 3) Nie mam. Co do sposobu rozwiązania, to polecam taki (od razu znika wątpliwość pierwsza): √x+1 ≤ 1 + √x−2 /² x+1 ≤ 1 + x−2 + 2√x−2 2 ≤ 2√x−2 1 ≤ √x−2 / ² 1 ≤ x − 2 x ≥ 3.

twerk: @Trivial, czemu tylko wtedy jeśli obie strony ≥ 0?

Trivial: Wkradła się mała literówka. Na początku, chodziło oczywiście o √x+1 − √x−2 > 0

twerk: up

Trivial: A dlatego, że np. −4 ≤ 1 → ()² → 16 ≤ 1, a to nieprawda. Można też podnieść do parzystej jeśli obie strony są ≤ 0, ale wtedy trzeba odwrócić jeszcze znak nierówności. A że łatwo o tym zapomnieć, bezpieczniej po prostu pomnożyć obie strony przez (−1) i doprowadzić do sytuacji, gdzie mamy obie strony ≥ 0.

twerk: teraz wszystko jasne dzięki, miłej nocy

Trivial: Dobranoc.

Michałs: Jak zwykle Trivial jest niezawodny. Nigdy nie robiłem takich nierówności i jakoś dziwnie się czuje kiedy podnoszę do kwadratu √x+1 ≤ 1 + √x−2 Trzeba patrzeć na dziedzinę i na to czy strony są dodatnie Dzięki.

PW: A to jeszcze się zabawmy, bo obaj Panowie mieli cenne spostrzeżenia. f(x)=√x+1−√x−2 jest funkcją malejącą. Jest to oczywiste po przekształceniu do postaci

	3
(1) f(x)=
	√x+1+√x−2

(im większy mianownik, tym ułamek mniejszy). Wystarczy zauważyć, że f(3)=1, a zatem dla x≥3 jest f(x)≤f(3)=1. Są takie brzydkie zadania: oceń (nie używajac kalkulatora), która liczba jest większa: √7865−√7862 czy √7900−√7897. Oderwanie się od szczegółów i przywołanie monotoniczności funkcji (1) zwala z nóg egzaminatorów.