Tratwa: Cześć Jak obliczyć sin110

Jolanta : sin(90⁰+30⁰)=cos30⁰=

Jolanta : oj sory to 110

Basia: 90+30 = 120 zdaje mi się

Godzio: Na przykład tak: sin110 = sin(90 + 20) = cos20

1
	= cos60 = cos(3 * 20) = 4cos3(20) − 3cos(20), niech cos(20) = x
2

1
	= 4x3 − 3x / * 2
2

1 = 8x³ − 6x 0 = 8x³ − 6x − 1 Teraz pozostaje rozwiązać to równanie, co nie jest łatwe, ale są odpowiednie metody

fx: Słowa klucz − wzory redukcyjne dla funkcji trygonometrycznych

Basia: jeżeli to szkoła, to zwyczajnie odczytać z tablic cos20

Tratwa: Dzięki Mistrze za pomoc

ICSP:

	1
8x3 − 6x −1 = 0 // *
	8

	3		1
x3 −		x −		= 0
	4		8

podstawiając x = u + v dostajemy układ równań

	1
u3 + v3 =
	8

	1
u3 * v3 =
	64

Zauważamy że są to wzory Viete'a dla trójmianu kwadratowego o pierwiastkach u³ oraz v³ zatem x = ³√u³ + ³√v³ = ³√z₁ + ³√z₂ gdzie z₁ oraz z₂ są rozwiązaniami równania :

	1		1
z2 −		z +
	8		64

	1		4		3
Δ =		−		= −		< 0 − trzy rozwiązania rzeczywiste
	64		64		64

	√3i
√Δ = ±
	8

	1 ± √3i
z =
	16

	1		3√1 + √3i		3√1 − √3i
x1 =		* (		+		) = cos20
	2		3√2		3√2

	1		3√1 + √3i		3√1 − √3i
x2 =		* (		*e2iπ/3 +		*e4iπ/3)
	2		3√2		3√2

	1		3√1 + √3i		3√1 − √3i
x2 =		* (		*e4iπ/3 +		*e2iπ/3)
	2		3√2		3√2

Godzio: Tak myślałem, że to jedno z tych prostszych równań

ICSP: Oczywiście sin110^o jest pierwszym pierwiastkiem Pytanie : Czy pozostałe pierwiastki mogą być wartościami pewnych funkcji trygonometrycznych ?

Trivial: Przede wszystkim pytanie było o sin110, a nie jakieś marne i pospolite sin110^o.

PW: Tak, ścisłe trzymanie się treści zadania może być zabjcze. 35,3π < 3,1416•35,3 < 111 < 3,127•35,5<35,5π, tak więc przybliżenia sin111 należy szukać między sin35,3π a sin35,5π, czyli między sin1,3π a sin1,5π i łatwiej − między (−sin0,5π) a (−sin0,3π)

Gustlik: Tak jak zrobił Godzio, a potem cos20 można odczytać z tablic.

PW: Nie wiem dlaczego liczyłem dla sin111 (to znaczy wiem, nieodwołalnie ślepnę). Dla sin 110 też ładnie: 35•3,14=109,9<110<10,25=35•3,15 sin110≈sin35π=0, można się bawić w oszacowanie błędu.

PW: Wedle kalkulatora sin110≈−0,044

PW: Tratwo, odezwij się − co Autor miał na myśli?