funcja dwóch zmiennych - gradient, pkt stacjonarne, ekstrema m2013: błagam o pomoc.

	1
dana jest funkcja dwóch zmiennych h(x,y) =		x2 + 2y3 − 4xy + 1 oraz punkt M= (2,1).
	2

a) wyznacz gradient h(x,y) w punkcie M b) wyznacz punkty stacjonarne ( o ile istnieją) c) wyznacz ekstrema h(x,y)

m2013: proszę chociaż o jakieś wskazówki, jak w ogóle zacząć to zadanie.

Basia: no to zacznijmy od gradientu tu jest definicja: http://pl.wikipedia.org/wiki/Gradient_%28matematyka%29

	df		df
musisz policzyć		i
	dx		dy

wiesz jak to zrobić ? jak wiesz to policz i napisz wyniki; sprawdzę

m2013: czyli chodzi o pochodną cząstkową po x i po y?

Basia: tak

	df		df
to są równoważne zapisy f'x =		f'y =
	dx		dy

m2013: nie wiem czy dobrze, ale wyszło mi po x = x+6y²+4y a po y= 6y²−4x

Basia: niestety, źle liczysz po x więc y traktujesz jak stałą liczysz po y więc x traktujesz jak stałą pochodna, ze stałej = 0 f'_x = x−4y f'_y = 6y² − 4x (tę masz dobrze) M(2,1) f'_x(2,1) = 2−4*1 = −2 f'_y(2,1) = 6*1² − 4*2 = −2 czyli gradient w p−cie M to wektor [−2; −2]

m2013: a no tak, głupi błąd się wkradł. dziękuję za zwrócenie uwagi

Basia: dalej: punkty stacjonarne to te, których współrzędne spełniają układ równań f'_x = 0 f'_y = 0 czyli masz x−4y = 0 6y² − 4x = 0 x = 4y 6y² − 4*4y = 0 6y² − 16y = 0 2y(3y − 8) = 0 y = 0 ⇒ x=4*0 = 0 y = ⁸₃ ⇒ x=4*⁸₃ = ³²₃ mamy dwa punkty stacjonarne A(0,0) i B(³²₃; ⁸₃) i sprawdzamy czy mogą tam być ekstrema czyli trzeba policzyć hesjan, a do tego są potrzebne f"_xx; f"_xy; f"_yx i f"_yy spróbuj je policzyć

m2013: szczerze mówiąc nie mam pojęcia co to jest hesjan. czy to jest pochodna do potęgi drugiej?

m2013: nie miałam tego na ćwiczeniach

Basia: hesjan to wyznacznik Hessego W = [ f"_xx f"_xy ] [ f"_yx f"_yy ] to taka nazwa potoczna policz te drugie pochodne, to pokażę jak dalej

m2013: f"xx= 1 f"xy= −4

Basia: dobrze; jeszcze f"_yx i f"_yy

Basia: chwilę mnie nie będzie

m2013: próbowałam wyszło mi tak: f"xx= 1 f"yx= −4 f"xy= −4 f"yy=12

m2013: dobrze, poczekam

Basia: Bardzo Cię przepraszam, ale sieć mi padła. Trochę trwało Już kończę to zadanko.

m2013: nic nie szkodzi. i bardzo dziękuję za pomoc.

Basia: f'_x = x−4y f'_y = 6y2 − 4x f"_xx = 1 f"_xy = −4 f"_yx = −4 ale f"__{yy} = 12y teraz wyznacznik W(x,y) = [ 1 −4 ] [ −4 12y] = 1*12y − (−4)*(−4) = 12y − 16 punkty stacjonarne: A(0,0) B(³²₃, ⁸₃) badamy punkt A W(0,0) = 12*0 − 16 = 16 < 0 w p−cie A nie ma ekstremum badamy punkt B W(³²₃; ⁸₃) = 12*⁸₃ − 16 = 4*8 − 16 = 16 >0 w punkcie B jest ekstremum f"_xx(³²₃,⁸₃) = 1 > 0 czyli w p−cie B jest minimum lokalne a schemat szukania tych ekstremum jest ładnie opisany tutaj: http://pl.wikipedia.org/wiki/Ekstremum#Warunek_konieczny_i_wystarczaj.C4.85cy_istnienia_ekstremum Rozdział 4 4.3 Warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum

m2013: dziękuję bardzo za pomoc. i mam jeszcze jedno pytanko: otóż nie zauważyłam w punkcie pierwszym że trzeba narysować wykres gradientu. i tu pojawia się kwestia czy muszę narysować wykres funkcji i dopiero gradientu czy od razu gradientu?

Basia: szczerze mówiąc nie wiem; w ogóle nie umiem rysować funkcji wielu zmiennych, no co najwyżej te najprostsze jeżeli od razu wiadomo, że to np. paraboloida jeżeli Was tego uczyli to spróbuj narysować, ale w tym już nie potrafię pomóc

m2013: jeszcze raz dziękuję bardzo za pomoc.