Znajdź styczne okręgu Karoll: Cześć mam problem z tym zadaniem i nie wiem jak posklejać teorie do kupy i to obliczyć : Wyznacz równania stycznych do okręgu : X² − 4x + y² − 2y + 4 a)przechodzących przez początek układu współrzędnych b)równoległych do prostej : 3x + 4y + 1 = 0 c)prostopadłych do prostej : x − 2y = 0

PW: 1. Przekształcić równanie, tak by było widać środek i promień. 2. "Teoria" to spostrzeżenie o prostopadłości promienia poprowadzonego do punktu styczności i stycznej.

Janek191: Tutaj nie ma żadnego równania ! Pewnie powinno być : x² − 4x + y² − 2y + 4 = 0 ( x − 2)² − 4 + ( y − 1)² − 1 + 4 = 0 ( x − 2)² + ( y − 1)² = 1 więc S = ( 2; 1) oraz r = 1 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− a) Prosta o równaniu y = ax + b ma przechodzić przez O = ( 0; 0), więc 0 = a*0 + b ⇒ b = 0 czyli mamy proste o równaniu y = a x −−−−− Rozwiązujemy układ równań : y = ax x² − 4x + y² − 2y + 4 = 0 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Mamy x² − 4x + (ax)² − 2*ax + 4 = 0 x² − 4x + a² x² − 2a x + 4 = 0 ( 1 + a²) x² − ( 4 + 2a) x + 4 = 0 Δ = [ − ( 4 + 2a)]² − 4*( 1 + a²)*4 = 16 + 16a + 4a² − 16 − 16 a² = −12 a² +16 a Aby prosta miała jeden punkt wspólny z okręgiem, to Δ musi być równa 0 : − 12 a² + 16 a = 0 − 4a*( 3a − 4) = 0

	4
a = 0 ∨ a =
	3

	4
Mamy proste styczne o równaniach : y = 0 i y =		x
	3

=====================================================

Janek191: Tutaj nie ma żadnego równania ! Pewnie powinno być : x² − 4x + y² − 2y + 4 = 0 ( x − 2)² − 4 + ( y − 1)² − 1 + 4 = 0 ( x − 2)² + ( y − 1)² = 1 więc S = ( 2; 1) oraz r = 1 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−− a) Prosta o równaniu y = ax + b ma przechodzić przez O = ( 0; 0), więc 0 = a*0 + b ⇒ b = 0 czyli mamy proste o równaniu y = a x −−−−− Rozwiązujemy układ równań : y = ax x² − 4x + y² − 2y + 4 = 0 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Mamy x² − 4x + (ax)² − 2*ax + 4 = 0 x² − 4x + a² x² − 2a x + 4 = 0 ( 1 + a²) x² − ( 4 + 2a) x + 4 = 0 Δ = [ − ( 4 + 2a)]² − 4*( 1 + a²)*4 = 16 + 16a + 4a² − 16 − 16 a² = −12 a² +16 a Aby prosta miała jeden punkt wspólny z okręgiem, to Δ musi być równa 0 : − 12 a² + 16 a = 0 − 4a*( 3a − 4) = 0

	4
a = 0 ∨ a =
	3

	4
Mamy proste styczne o równaniach : y = 0 i y =		x
	3

=====================================================

Janek191: b) x² − 4 x + y² − 2y + 4 = 0

	3		1
3x + 4y + 1 = 0 ⇒ 4y = − 3x − 1 ⇒ y = −		x −
	4		4

Proste styczne do danego okręgu mają być równoległe do tej prostej, czyli

	3
mają równania postaci y = −		x + b lub 3x + 4y − 4b = 0
	4

Odległość tych prostych od środka okręgu S = ( 2; 1) jest równa r, czyli d = 1 Mamy więc

I 3*2 + 4*1 − 4b I
	= 1
√22 + 12

I 10 − 4b I
	= 1
√5

I 10 − 4b I = √5 10 − 4b = − √5 ∨ 10 − 4b = √5 4b = 10 + √5 ∨ 4b = 10 − √5

	10 + √5		10 − √5
b =		∨ b =
	4		4

Odp. Proste styczne mają równania:

	3		10 + √5		3		10 − √5
y = −		x +		i y = −		x +
	4		4		4		4

lub w postaci ogólnej 3x + 4y − 10 − √5 = 0 i 3x + 4y − 10 + √5 = 0 ================================================ II sposób: Podobnie jak w przykładzie a) należy rozwiązać układ równań :

	3
y = −		x + b
	4

x² − 4x + y² − 2y + 4 = 0 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−

Janek191: c) x² − 4 x + y² − 2y + 4 = 0

	1
x − 2y = 0 ⇒ 2y = x ⇒ y =		x
	2

zatem

1
	*a2 = − 1 ⇒ a2 = − 2
2

czyli proste styczne mają równania postaci : y = −2 x + b Rozwiązujemy układ równań: y = − 2 x + b x² − 4x + y² − 2y + 4 = 0 −−−−−−−−−−−− x² − 4x + ( − 2x + b)² − 2*( − 2x + b) + 4 = 0 x² − 4x + 4x² − 4b x + b² + 4 x − 2b + 4 = 0 5 x² −4b x + b² − 2b + 4 = 0 Δ = ( − 4b)² − 4*5*( b² − 2b + 4) = 16 b² − 20 b² + 40 b − 80 = − 4b² + 40 b − 80 zatem Δ = 0 ⇔ − 4 b² + 40 b − 80 = 0 b² − 10 b + 20 = 0 Δ₁ = (−10)² − 4*1*20 = 100 − 80 = 20 = 4*5 √Δ₁ = 2√5

	10 − 2√5
b =		= 5 − √5 lub b = 5 + √5
	2

Odp. Proste styczne mają równania : y = −2 x + 5 − √5 i y = − 2x + 5 + √5 =============================================================== II sposób Odległość prostych o równaniu y = − 2x + b czyli 2x + y − b = 0 od środka okręgu S = ( 2; 1) ma być równa r = 1. d = 1 −−−−−−−−−−−

	I Ax0 + B y0) + C I
Wzór:		= d
	√A2 + b2

Janek191: Poprawka wzoru na odległość punktu od prostej :

	I A x0 + B y0 + C I
d =
	√A2 + B2

gdzie prosta ma równanie A x + B y + C = 0 , a punkt P = ( x₀ ; y₀ )

Karoll: dzięki rozumiem sposób, muszę tylko jeszcze się nauczyć tych obliczeń z deltą