potegi, logarytmy ciekawsky: 1. Jak to rozwiązać: (2−√3)^x+(2+√3)^x=4^x ? 2. Dowiedź, że log₂ 3 + log₃ 4 > 2√2

ZKS: Tam na końcu te 4 jest do potęgi x?

ciekawsky: tak

ciekawsky: dokladnie

asdf: na pewno ?

ciekawsky: a czemu nie? jestem absolutnie pewnien, mam to przed nosem

Janek191: x = 1 bo ( 2 − √3)¹ + ( 2 + √3)¹ = 2 − √3 + 2 + √3 = 4 = 4¹

ciekawsky: no fajnie, ale nie o podstawienie mi chodzi ;<

asdf: wywnioskować to i ja mogę..(wolfram na pewno by mi pomógł), ale zeby dojść do wyniku.

ciekawsky: no własnie o dojscie do wyniku mi chodzi, bo juz siedze nad tym tyle i nie moge rozwiazac

ciekawsky: no dobrze, to adsf pomożesz?

asdf: probowalem jakies 10 minut temu z:

	1
2−√3 =		, ale nie wychodzi
	2+√3

pb: moze to ci pomoze ( 2 − √3 )⁻¹ = ( 2 + √3 )

ciekawsky: dzięki, ale znam tę własność

ciekawsky: to jak jest matma rozszerzona, wiec dlatego trudne :<

afwaw: dla x> 1 lewa strona bedzie zawsze mniejsza od prawej, a liczba 4^x musi byc wymierna, wiec ...

Basia:

(2−√3)x		4x
	+ 1 =
(2+√3)x		(2+√3)x

2−√3		4−4√3+3
	=		= 7−4√3
2+√3		4−3

4		8−4√3
	=		= 8−4√3
2+√3		4−3

mamy (7−4√3)^x + 1 = (8−4√3)^x t^x + 1 = (t+1)^x (t+1)^x − t^x = 1 teraz już widać bez żadnej pomocy , że x=1 zastanówcie się dlaczego nie ma innego rozwiązania bo szczerze mówiąc szkolnymi metodami nie potrafię tego uzasadnić chyba, że pochodne już były

Basia: log₂3+log₃4 =

	log24
log23+		=
	log23

	2
log23+		=
	log23

2+(log23)2
log23

t = log₂3 t>1 przypuśćmy, że

2+t2
	< 2√2
t

2+t² < 2√2t t² − 2√2t + 2 < 0 Δ = 8 − 8 = 0 t²−2√2+2 ≥0 czyli log₂3+log₃4 ≥ 2√2 ale Δ= 0 więc t²−2√2+2 może = 0 wtedy jednak

	2√2
t=		= √2
	2

czy log₂3 = √2 ? gdyby tak było to 2^√2 = 3 niewymierna = wymierna sprzeczność no to nie może być log₂3+log₃4 = 2√2 no to musi być log₂3+log₃4 > 2√2

ciekawsky: Dziękuję raz jeszcze Basiu

c.n.u.: Inny sposób

	2
zad.2 log23≠log34 i log34=
	log23

z nierówności między średnimi : am − gm

log23+log34		2
	> √log23*log34= √log23*		= √2 /*2
2		log23

log₂3+log₃4>2√2 c.n.u.

Bogdan: dla c.n.u.

c.n.u.: Witam Bogdanie