prosze o szybka pomoc ??: jak najbardziej mogę rozłożyć (x³−x−1)(x⁴−x³+1) proszę o rozłożenieee bo mi wyszło (x+1)(x−1)(x+1)(x−1)(x²+x−1) ale nie wiem czy to jest prawidłowe... chyba nie

ICSP: Niestety źle Ci wyszło Tego nie da się "ładnie" rozłożyć

??: da się. [x(x²−1)−1][x³(x−1)+1]=(x−1)(x−1)(x−1)x²−1)(x²+x+1)=(x+1)(x−1)(x+1)(x−1)(x²+x+1). wszystko się da tylko nie wiem czyyy (x+1) moge włączyć w jedno

ZKS: To po co się pytasz? Jak piszesz że da się rób po swojemu skoro tak. Jeżeli ktoś Ci pisze że nie da się to się nie da.

ICSP: źle to rozkładasz. Nie powiedziałem ze tego się nie da rozłożyć. Powiedziałem ze tego się nie da ładnie rozłożyć (x+1)(x−1)(x+1)(x−1)(x² + x + 1) ≠ (x³ − x − 1)(x⁴ − x³ + 1)

??: to jak to rozłożyć by było dobrze?

ICSP: wieczorem mogę się z tym pobawić. Teraz za bardzo czasu nie mam

ZKS: Dostałeś taki wielomian do rozłożenia czy sam po pewnych przekształceniach go otrzymałeś?

??: (x3−x−1)(x4−x3+1) to mam rozłożyć

ICSP: w(x) = (x³ − x −1)(x⁴ − x³ + 1) rozłożyć na czynniki. Najpierw postaramy się rozwiązać równania : 1^o x³ − x − 1 = 0 2^o x⁴ − x³ + 1 = 0 Znając ich pierwiastki bez problemu będzie można zapisać postać iloczynową w(x) 1^o x³ − x − 1 = 0 biorąc x = u + v mamy : u³ + v³ = 1

	1
u3 * v3 =
	27

są to wzory Viete'a dla trójmianu kwadratowego o pierwiastkach u³ oraz v³ x = u + v = ³√u³ + ³√v³ = ³√z₁ + ³√z₂ gdzie z₁ oraz z₂ są rozwiązaniami równania :

	1
z2 − z +		= 0
	27

	4		23
Δ = 1 −		=		> 0 − jedno rozwiązanie rzeczywiste
	27		27

	√23		√69
√Δ =		=
	3√3		9

	√69   1 ±   9		9 ± √69
z =		=
	2		18

	1
x =		(3√27 + 3√692 + 3√27 − 3√692)− jest to jedyne rozwiązanie
	3

rzeczywiste równania x³ − x − 1 = 0 zatem

	1
x3 − x − 1 = [x −		(3√27 + 3√692 + 3√27 − 3√692)]*
	3

	1
[x2 +		(3√27 + 3√692 + 3√27 − 3√692)x −
	3

1
	]
1   (3√27 + 3√692 + 3√27 − 3√692) 3

to jest rozłożony na czynniki pierwszy wielomian. Teraz zajmujemy się 2^o 2^o x⁴ − x³ + 1 = 0

	1		1		1
x4 − x3 + 1 =		x4 + (		x2 − x)2 + (		x2 − 1)2 > 0 dla każdego x
	2		2		2

Tak więc x⁴ − x³ + 1 = 0 nie będzie miało rozwiązań rzeczywistych. Wystarczy więc wielomian x⁴ − x³ + 1 sprowadzić do iloczynu dwóch trójmianów kwadratowych x⁴ − x³ + 1 = 0

	1		1
x4 − x3 +		x2 =		x2 − 1
	4		4

	1		1
(x2 −		x)2 =		x2 − 1
	2		4

	1		1
(x2 −		x + y)2 =		x2 − 1 + 2yx2 −xy + y2
	2		4

	1		1
(x2 −		x + y)2 = (2y +		)x2 + (y)x + y2 − 1
	2		4

	1
P = (2y +		)x2 + (y)x + y2 − 1
	4

	1
Δ = y2 − 4(y2−1)(2y +		) =
	4

	1
= y2 − 8y3 − y2 + 8y + 1 = −8(y3 − y −		)
	8

	1
Δ = 0 ⇒ y3 − y −		= 0
	8

y = u + v

	1
u3 + v3 =
	8

	1
u3*v3 =
	27

	1		1
z2 −		+
	8		27

	−229
Δ =		< 0 ⇒ III rozwiązania rzeczywiste. Nam wystarczy jedno
	33 * 26

	√687i
√Δ = ±
	23 32

	1		9 ± √687i		1		1
z =		* (		) =		*		( 27 ± 3√687i)
	23		2* 32		63		2

	1
y =		* (3√27 + 3√687i2 + 3√27 − 3√687i2)
	6

Teraz już z górki bo :

	1
(2y +		)x2 + (y)x + y2 − 1 gdy Δ = 0 możemy zapisać jako
	4

	1		y
(2y +		)(x +		)2 =
	4		1   4y +   2

	√2y + 1/4 *y
= (√2y + 1/4x +		)2
	1   4y +   2

wracając do równania

	1		√2y + 1/4 *y
(x2 −		x + y)2 − (√2y + 1/4x +		)2 = 0
	2		1   4y +   2

	1		√2y + 1/4 *y		1
(x2 + ( −		+ √2y + 1/4)x + y +		)(x2 + −		−
	2		1   4y +   2		2

	√2y + 1/4 *y
√2y + 1/4)x + y −		) = 0 a to jest już iloczyn dwóch
	1   4y +   2

trójmianów kwadratowych czyli to co chcieliśmy otrzymać Podsumowując :

	1
(x3 − x −1)(x4 − x3 + 1) = [x −		(3√27 + 3√692 + 3√27 − 3√692)]*
	3

	1
[x2 +		(3√27 + 3√692 + 3√27 − 3√692)x −
	3

1
	] *
1   (3√27 + 3√692 + 3√27 − 3√692) 3

	1		√2y + 1/4 *y		1
[(x2 + ( −		+ √2y + 1/4)x + y +		)(x2 + −		−
	2		1   4y +   2		2

	√2y + 1/4 *y
√2y + 1/4)x + y −		)]
	1   4y +   2

	1
dla y =		* (3√27 + 3√687i2 + 3√27 − 3√687i2)
	6