Rozwiaż metodą przewidywań Janek: y''−4y'=−12x²+6x RJ y''−4y'=0 r²−4r=0 √Δ=4 r₁=−4 r₂=0 y₁=e^−4x y₂=e⁰=1 y=C₁e^−4x + C₂ RSRN y_s=Ax²+Bx+C y_s'=2Ax+B y_s''=2A y''−4y'=−12x²+6x−4 2A−4(2Ax+B)=−12x²+6x−4 −8Ax+2A−4B=−12x²+6x−4 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Wydaję mi się,że gdzieś popełniłem błąd, albo wogóle niezgodnie z teorią. Odp:y=X³+x+C₁+C₂e^4x

Krzysiek: źle przewidujesz rozwiązanie szczególne rozwiązanie równanie jednorodne zawiera się w y_s (dla A=B=0) dlatego y_s=x*(Ax²+Bx+C) podobnie gdyby np. po prawej stronie równania byłoby coś z "e^−4x" również musiałbyś pomnożyć przewidywane rozwiązanie przez 'x'

Trivial: Poza tym pierwiastki równania charakterystycznego to 0 i 4. I uwaga! Nie trzeba liczyć delty, gdyż: r²−4r = r(r−4)

Janek: tak, faktycznie y_s'=(Ax²+Bx+C)+(x)(2Ax+B)=2Ax²+Bx+Ax²+Bx+C=3Ax²+2Bx+C ?

Krzysiek: tak

Janek: y_s"=6Ax+2B dalej już chyba sobie poradze Chociaż nie bardzo rozumiem to: "rozwiązanie równanie jednorodne zawiera się w ys (dla A=B=0)"

Trivial: Janek, chodzi o to, że dla dowolnej stałej B oraz Ce^4x równanie jest spełnione, czyli nie ma sensu przewidywać (przykładowo): y_s = ... + B ani też y_s = ... + Ce^4x ani tym bardziej: y_s = ... + B + Ce^4x gdyż z liniowości równania różniczkowego części z B i Ce^4x i tak znikną z równania po podstawieniu (właśnie tego szuka się w rozwiązaniu jednorodnym − części która "znika").

Janek: Na zajęciach mieliśmy przykład y''−y'−6y=−x²−²⁹₁₈ i tam y_s=Ax²+Bx+C. Dlaczego tutaj dochodzi razy x

Krzysiek: jak masz: y_s=Ax²+Bx+C , y=C₁e^−4x+C₂ i przyjmiesz A=0 , B=0, C=C₂,C₁=0 to y_s=y a jak będziesz miał: y_s=x(Ax²+Bx+C) to już nie znajdziesz takich A,B,C aby to było równe y

Trivial: Ogólny wzór metody przewidywań na prawą stronę równania postaci: q = e^ax[P_n(x)*cos(bx) + Q_k(x)*sin(bx)] jest taki: y_s = e^ax[R_m(x)*cos(bx) + S_m(x)*sin(bx)]x^r gdzie: r − krotność a+bi w wielomianie charakterystycznym (jeżeli nie ma takiego pierwiastka to 0) m = max{n,k} P_n, Q_k, R_m, S_m − wielomiany stopnia − odpowiednio − n, k, m, m. Dodatkowo, w metodzie przewidywań obowiązuje liniowość, czyli dla q(x) = q₁(x) + q₂(x) + ... przewidujemy y_s = y_s,1 + y_s,2 + ...

Janek: Dzięki wam za wytłumaczenie

Trivial: Przykładowo, dla równania różniczkowego liniowego o pierwiastkach r₁ = 4, r₂ = 0 i prawej strony q = −12x² + 6x (a = 0, b = 0, P_n(x) = −12x²+6x, Q_k(x) − dowolne) przewidujemy: y_s = (Ax² + Bx + C)*x^{krotność(0)} = (Ax² + Bx + C)x¹

Trivial: A jeżeli r₂ zmienilibyśmy na np. 1, to wtedy: y_s = (Ax² + Bx + C)*x^{krotność(0)} = (Ax² + Bx + C)*1

Janek: Dzięki za szczegółowe wytłumaczenie