geometria zadanie: Niech K_n oraz D_n beda odpowiednio długosciami najkrótszej i najdłuzszej przekatnej n−kata foremnego o boku 1. Czy iloraz D_n/K_n jest liczba całkowita, jezeli a) n=8 ; b) n=12 ; c) n=5 ? jakies podpowiedzi?

Mila: Rysunek i analiza. α=?

Mila: http://dajspisac.pl/oblicz-d%C5%82ugo%C5%9Bci-najkr%C3%B3tszej-i-najd%C5%82uszej-przek%C4%85tnej-o%C5%9Bmiok%C4%85ta

Mila: Ciekawy pięciokąt foremny. http://pl.wikipedia.org/wiki/Pi%C4%99ciok%C4%85t

Mila: Dwunastokąt foremny. α=? Wszystko łatwo policzysz.

zadanie: α=1080^o x=√2+√2

zadanie: jutro dokoncze dziekuje

Mila: Pisz , do którego wielokąta są obliczenia.

zadanie: najpierw pieciokat tutaj wszystkie przekatne sa tej samej dlugosci wiec iloraz 2 przekatnych jest rowny 1 ∊C

zadanie: osmiokat foremny niech K_n=x, D_n=y α=135^o (wtedy zle policzylem (21:53) bo to byla suma wszystkich katow wewnetrznych) z tw. cosinusow: x=√2+√2 y=√4+2√2

y		√4+2√2
	=		∉C
x		√2+√2

zadanie: dwunastokat foremny α=150^o z tw. cosinusow: x=√2+√3 y=2x=2√2+√3

y		2x
	=		=2∊C
x		x

zadanie: mam nadzieje, ze dobrze

Mila: 1) Pięciokąt foremny− dobrze. 2) Ośmiokąt foremny − dobry rysunek jest potrzebny i analiza. ( na liczenie zawsze jest czas) 3)d=2R − najdłuższa przekątna jest równa 2 promieniom (R) okręgu opisanego na tym ośmiokącie. 4) p=R√2 − najkrótsza przekątna ośmiokąta foremnego jest przeciwprostokątną w równoramiennym Δ prostokątnym o przyprostokątnych równych R. W takim razie :

d		2R		2
	=		=		∉C
p		R√2		√2

(obliczenia długości przekątnych masz dobrze)

Mila: Dwunastokąt foremny. 1) rysunek, analiza i odpowiedź bez obliczeń− czekam. Obliczenia masz dobrze.

Mila: I jeszcze jedno, oblicz długość przekątnej pięciokąta foremnego o boku długości a, bez trygonometrii.

zadanie: kat wewnetrzny pieciokata foremnego wynosi 108⁰ wiec trudno obliczyc cos tego kata wiec z trygonometria byloby trudniej

zadanie: sprobuje pomyslec

zadanie: a odnosnie dwunastokata foremnego to mam narysowac rysunek i go omowic?

Mila: 1) Jeśli chodzi o dwunastokąt, to masz "widzieć" , dlaczego proszę o odpowiedź bez obliczeń. 2) Pięciokąt. Dobry rysunek, opisać kąty, skorzystać np. z tw. o dwusiecznej kąta 72⁰, otrzymasz złotą proporcję.

zadanie: z rysunku 21:50 widac, ze najkrotsza przekatna to bok trojkata rownobocznego (bo dwunastokat foremny sklada sie z szesciokata foremnego, ktory jest zbudowany z 6 trojkatow rownobocznych) oraz rowniez mozna zauwazyc, ze najdluzsza przekatna to jeden bok trojkata rownobocznego z jedej strony i jeden bok trojkata z drugiej strony czyli 2 razy ten sam bok.

Mila: Dobrze. Komentarz w nawiasie nie podoba mi się, ale wiem, co chciałeś powiedzieć. 1) najdłuższa przekątna: d=2R, R− promień okręgu opisanego na dwunastokącie foremnym. 2) najkrótsza p=R, jako bok Δ równobocznego.

zadanie: x−przekatna pieciokata

zadanie: chyba jutro pomysle

Mila:

zadanie: juz zrobilem napisze za jakis czas

zadanie: niech: p− przekatna pieciokata FB=x=FC AF=p−x=DF AF−dwusieczna kata 72^o z tw. o dwusiecznej:

x		p−x		ap
	=		→x=
a		p		a+p

trojkaty ABC i BCF sa podobne ze wzgledu na katy

	a		p		a2
stad:		=		→x=
	x		a		p

po przyrownaniu obu x:

a2		ap
	=
p		a+p

ap²−a²p−a³=0 ; a>0 Δ=5a⁴; √Δ=a²√5

	a2+a2√5		a(1+√5)
p=		=
	2a		2

dobrze?

zadanie: ?

Mila: Dobrze. Uwagi: 1) Można : ap²−a²p−a³=0 ; a>0 /:a p²−ap−a²=0 i wyjdzie to samo. 2) mogłeś zauważyć, że DF=DC=a wtedy: z tw. o dwusiecznej:

p		a
	=		⇔
a		p−a

p*(p−a)=a² p²−ap−a²=0 Zadanie 2.

	1+√5
dla a=1, p=
	2

Teraz oblicz wartości: cos36⁰ cos72⁰ sin18⁰

zadanie: no wlasnie bo znajac te wartosci mozna by to obliczyc szybciej z twierdzenia cosinusow ale juz jutro to sprobuje obliczyc

Mila: Zobacz zadania 'Diamentowy indeks" AGH− 2013/2014rok.

zadanie: spobuje zrobic to zadanie ale najpierw mam jeszcze 4 albo 5 zadan, ktore tez chce zrozumiec napisze je w innym poscie na poczatku da sie zauwazyc, ze cos36^o=sin54^o oraz cos72^o=sin18^o zadanie zeby obliczyc sin18^o jest nawet na tej stronie patrzylem troche na to i na pierwszy rzut oka troche inne niz dotychczas pozniej sprobuje to poobliczac zadania z tej olimpiady sa bardzo ciekawe i takich nie robilo sie w szkole ale na wziecie udzialu w takiej olimpiadzie jest troche za pozno bo juz jestem po maturze

zadanie: w tym rozwiazaniu zostalo obliczone wyrazenie cos36^osin18^o ja bym nie wiedzial, ze trzeba to obliczyc zobaczylem w internecie i tam jest to prosciej zrobione za pomoca wzorow trygonometrycznych jutro to jeszcze przeanalizuje i napisze

zadanie: za pomoca internetu obliczylem sin18 oraz cos36 i cos18 wykorzystalem wzory: sin2α=2sinαcosα cos2α=1−2sin²α cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ cosα=sin(90−α) sin36=cos54=cos36+18 sin36=cos36+18 2sin18cos18=cos36cos18−cos36sin18 2sin18cos18=cos18*(1−2sin²18)−2sin18cos18sin18/cos18 4sin²18+2sin18−1=0 t=sin18; t∊(0,1) 4t²+2−1=0 Δ=20;√Δ=2√5

	√5−1
t=		∊D; drugie t∉D
	4

	√5−1
sin18=		=cos72
	4

Mila: Masz tam błędne zapisy. Nie o to mi chodziło. Masz w pięciokącie foremnym odpowiednie trójkąty, stamtąd oblicz wartości cosinusa. Masz obliczoną przekątną. Rysunek 21:09.

zadanie: Z tw. cosinusow

	p2−2a2		a(√5+1
cos108o=		, gdzie p=
	−2a2		2

	−a2+a2√5		1		−a2+a2√5		−√5+1
cos108o=		*		=		=
	2		−2a2		−4a2		4

cos108^o=cos(90^o+18^o)=−sin18^o

	−√5+1
−sin180=		/:(−1)
	4

	√5−1
sin18o=
	4

a co wtedy bylo zle zapisane?

Mila: Zamiast : sin36=cos54=cos36+18 ma być sin36=cos54=cos(36+18 ) Zamiast: sin36=cos36+18 ma być:sin36=cos(36+18 )

	a(1+√5)
p=
	2

WΔ DBC: p²=a²+a²−2a²cos108⇔p²=2a²−2a²cos108 p²=2a²(1−cos108)

a2*(1+√5)2
	=2a2*(1−cos108) /:a2
4

1+2√5+5
	=2(1−cos(108))
4

6+2√5
	=2(1−cos(108)) /:2
4

3+√5
	=1−cos(108)
4

3+√5		4
	−		=−cos(108)
4		4

√5−1
	=−cos(1080)=sin(180)
4

cos(108)=cos(180−72)=−cos(72⁰)

	√5−1
cos(72)=
	4

W ΔABD: a²=p²+p²−2p²*cos 36⁰ Dokończ i zapisz wszystkie obliczenia.

zadanie:

	a(1+√5
p=
	2

	a2(1+√5)2		5a2+2a2√5+a2		6a2+2a2√5
p2=		=		=		=
	4		4		4

2(3a2+a2√5)		3a2+a2√5
	=
4		2

W ΔABD: a²=p²+p²−2p²*cos36^o 2p²−2p²cos36^o=a² −2p²cos36^o=a²−2p²

	a2−2p2		3a2+a2√5   a2−2*   2
cos36o=		=		=
	−2p2		3a2+a2√5   −2*   2

	a2−3a2−a2√5		−2a2−a2√5
=		=		=
	−3a2−a2√5		−3a2−a2√5

	−a2(2+√5)
=		=
	−a2(3+√5)

	2+√5		3−√5		6−2√5+3√5−5		1+√5
=		*		=		=		=sin54o
	3+√5		3−√5		9−5		4