rozwiąż równanie Janek: xy'+3y=x² Czy dobrze zacząłem ? xy'+3y=0

dy
	x=−3y
dx

−3ydx=xdy

	dx		dy
−3∫		=∫
	x		y

−3ln|x|+ln|c|=ln|y|

	C
y=
	x3

Trivial: Jednorodne OK. Szybszy sposób to doprowadzenie do postaci y' + py = q i skorzystanie ze wzoru y_j = Ce^−∫pdx W tym zadaniu:

	3
y' +		y = x
	x

	C
yj = Ce−∫(3/x)dx = Ce−3lnx = C(elnx)−3 =
	x3

A rozwiązanie szczególne można np. metodą zgadywania: y_s = Ax²

	1
(2Ax) + (3Ax) = x → 5A = 1 → A =
	5

I mamy rozwiązanie ogólne:

	x2		C
y = ys + yj =		+		.
	5		x3

Janek: Dzięki za pomoc, sprawdziłbyś mi jeszcze jedno zadanie ?

Trivial: OK.

Janek: To chwilka tylko przepisze

Janek:

	x+3y
y'=
	2x

	y
2y'=1+3
	x

2(u'x+u)=1+3u 2u'x+2u=1+3u 2u'x=1+u

	du
2x		=1+u
	dx

du		dx
	=
1+u		2x

ln|1+u|=¹₂ln|2x|+ln c .... i zaczynam się gubić, bo to wyżej jest raczej coś nie tak

Trivial: Obliczenia są poprawne, jednak sposób nie jest za dobry. Zauważ, że:

	x+3y		1		3
y' =		=		+		y
	2x		2		2x

	3		1
y' −		y =
	2x		2

I to już łatwo rozwiązać. Podobnie jak poprzednio: y_j = Ce^∫(3/_2x)dx = ... = Cx^3/2 y_s = Ax

	3		1
A −		A =		→ A = −1.
	2		2

y = −x + Cx^3/2

Janek: Dzięki, to może jeszcze jedno skoro tak dobrze idzie ?

Trivial: dawaj.

Janek: z=x³+y²−6xy−39x+18y+20 z(x)=3x²−6y−39 z(y)=2y−6x+18 ukł. równań 3x²−6y−39=0 ⇒ x²−2y−13=0 2y−6x+18=0 ⇒y−3x+9=0 ⇒ y=3x−9 x²−2(3x−9)−13 x²−6x+18−13 x₁=5 x₂=1 y₁=3*5−9=6 y₂=3*1−9=−6 z(xx)=(3x62−6y−39)'=6x z(yy)=(2y−6x+18)'=2 Z(xy)=(3x²−6y−39)'=−6

	6x −6 −6 2
W=		=12x−36=24>0

z=−86 odp. prawidłowa z(5,6)=14=z_min

Trivial: Wszystko OK do momentu liczenia wyznacznika. Potem jest jakiś wielki skrót myślowy. A₁ = 6x // pierwszy wiersz, pierwsza kolumna macierzy Hessego A₂ = 12x − 36. // wyznacznik Z kryterium Sylvestra mamy: Jeżeli A₂ < 0 to nie ma ekstremum. Jeżeli A₂ > 0 oraz A₁ > 0 to mamy minimum. Jeżeli A₂ > 0 oraz A₁ < 0 to mamy maksimum. Inne przypadki − nie można określić. Dla każdego punktu będącego kandydatem na ekstremum liczymy A₁, A₂. dla P₁ = (x₁, y₁) = (5, 6): A₂ = 12*5 − 36 > 0 A₁ = 6*5 > 0 zatem w punkcie P₁ jest minimum. dla P₂ = (x₂, y₂) = (1, −6) A₂ = 12*1 − 36 < 0 zatem w punkcie P₂ nie ma ekstremum lokalnego Zatem funkcja z(x,y) ma w punkcie (5,6) minimum lokalne o wartości −86.

Janek: No troszeczkę tam zamieszałem przy końcu. Czyli wynik − 86 jest poprawny , a nie 14 jak sugeruje podręcznik. 3−krotne "dzięki" !