Pochodna - funkcje z wartością bezwględną... V.Abel: Witam! Mam prośbę o wyjaśnienie jak wyliczyć pochodną tego typu funkcji: f(x) = |x| w x₀=1 f(x0=|2x+3| w x₀=0 f(x)=|3x−1| w x₀=0 wszystko na podstawie definicji pochodnej, bardzo proszę o pomoc

Basia: wprost z definicji to tak (1)

	f(x)−f(1)
f'(1) = limx→1		=
	x−1

	|x|−1		x−1
limx→1		= limx→1		= 1
	x−1		x−1

(|x|=x bo skoro x→1 to można przyjąć, że x>0) (2)

	f(x)−f(0)
f'(0) = limx→0		=
	x−0

	|2x+3|−|2*0+3|
limx→0		=
	x

	2x+3−3		2x
limx→0		= limx→0		= limx→0 2 = 2
	x		x

(|2x+3|=2x+3 bo przy x→0 masz prawo przyjąć, że x>−³₂) (3) już Ci zostawiam podpowiem tylko, że przy x→0 3x−1<0

V.Abel: dzięki Basia no właśnie, bo mnie to zastanawia jak mam np ten ost przykład( ale w tych wcześniejszych też mnie to zastanawia, to):

	1		−1
⎧ 3x−1 gdy x≥   f(x)= ⎨
	−3		3

no właśnie stąd pochodna

	⎧	3 gdy h→0+
f'{x}=	⎨		tak to sobie rozpisuję i się zastanawiam o co właściwie
	⎩	−3 gdy h→0−

chodzi z tym h dąży do zero plus, zero minus ( to są granice prawo, lewostronne) czy jak? rzecz w tym, że nie jestem pewien jeszcze kiedy, który "środek" wartości bezwzględnej wstawić czy ten dla x>=... czy ten dla x<... proszę, ktoś kto wie, wyjaśni? Basia?

V.Abel: * sorry za lekką nieczytelność tego powyżej, coś z klamrą się porobiło

V.Abel: a właściwie dlaczego Basiu przy tych limesach w pochodnych masz x→1 czy x→0 jak tam w definicji jest h→0 ?

V.Abel: hej, znajdzie ktoś chwilkę na to zadanko, proszę ?

Aga1.: Pochodną funkcji w punkcie x₀ można obliczać na dwa sposoby

	f(x0+h)−f(x0)
f'(x0)=lim h→0
	h

lub

	f(x)−f(x0)
f'(x0)=limx→x0
	x−x0

O to pytałeś?

Aga1.:

	1
I3x−1I=3x−1, gdy 3x−1≥0, czyli x≥
	3

	1
Jeśli masz x0 >		to zamiast I3x−1I wpisujesz 3x−1.
	3

	1
I3x−1I=−3x+1, gdy 3x−1<0, czyli x<
	3

Aga1.:

I_love_PI: tak, a skąd wiadomo, że można liczyć tak jak podałaś ten drugi sposób z x dążącym do x₀? ja mam w książce tylko pierwszy sposób ( tak w ogóle to da się tym pierwszym tego typu przykłady)?

V.Abel: Aga1 − o to pytałem, podbijam pytanie wyżej

Aga1.: To są dwie definicje równoważne. Spróbuję tym pierwszym sposobem. 1) Gdy x₀=1, to f(x)=x

	f(1+h)−f(1)		1+h−1
limh→0		=limh→0		=1
	h		h

Basia:

	f(x0+h)−f(x0)
f'(x0) = limh→0
	h

skoro h→0 to x = x₀+h → x₀ i h = x−x₀ podstawiamy i mamy

	f(x) − f(x0)
f'(x) = limx→x0
	x−x0

V.Abel: faktycznie powiem, że ja również widziałem tylko tę wersję z h, ale racja PS. jednak chcąc nie korzystać z tego sposobu x→x₀ tylko z h→0, to jakby to wyglądało? to już nie tak do końca (jeszcze) oczywiste, jak ten drugi sposób...?

Basia: też proste; Aga pokazała

	f(1+h)−f(1)		|1+h|−|1|
f'(1) = limh→0		= limh→0
	h		h

dla małych h (a są małe bo h→0) 1+h > 0 czyli

	1+h−1
f'(1) = limh→0		= limh→0 1 = 1
	h

Aga1.: f(x)=I2x+3I,x₀=0 , jak podstawisz za x 0 to otrzymujesz 2*0+3=3 liczbę dodatnią. A jak dodatnią to f(x)=2x+3 f(x₀+h)=f(0+h)=f(h)=2h+3 f(x₀)=f(0)=2*0+3=3 Podstaw do wzoru z h.

Basia: przydałoby się drobne uzasadnienie dlaczego f(h) = |2h+3| = 2h+3 tak jak poprzednio; dla h>0 sprawa jest oczywista 2*h+3 > 3 > 0 dla h<0 nie tak bardzo oczywista, ale też prosta h→0 mamy więc prawo przyjąć, że h> −³₂ a wtedy 2h+3 > 0

I_love_PI: Ok, powiedzmy, że ok, to idąc dalej pomożecie z wyjaśnieniem pewnego dowodu? Mianowicie polecenie brzmi tak: udowodnij, że f(x)=|x−1| nie ma pochodnej w punkcie x₀=1. No i "książkowy" dowód (przepisuję tutaj):

	f(1+h)−f(1)		|1+h−1|−0		|h|
1)lim(h→0+)=		=lim(h→0+)		=lim(h→0+)		=1 ,bo h>0, więc
	h		h		h

|h|=h

	f(1+h)−f(1)		|h|
2)lim(h→0−)=		=lim(h→0−)		= −1, bo h<0, stąd |h|= −h
	h		h

1)≠2) ckd super− tylko jak wyjaśnić w 2), że h<0 stąd |h|= −h? i jak "przeczytać" h→0⁺ lubh→0⁻ −−−> to są granice prawo− lewostronne, czy dąży przez wartości dodatnie / ujemne? jak to rozumieć?

Basia: zapis h→a⁻ oznacza: h dąży do a przez wartości mniejsze od a zapis h→a⁺ oznacza: h dąży do a przez wartości większe od a h→0⁻ ⇔ h→0 i h<0 ⇒ |h| = −h (z definicji wartości bezwzględnej)

V.Abel:

	−3
Basia, h→0 mamy więc prawo przyjąć, że h>		a wtedy 2h+3 > 0 sorry, ale skąd?
	2

bo przecież x to nie h?

Basia: x₀+h to zmienna taka sama jak x przecież tu chodzi o otoczenie x₀ i dążącym do 0 promieniu h f(x) = 2x+3 f(x₀+h) = 2(x₀+h)+3 no a skoro x₀ = 0 masz f(x₀+h) = f(0+h) = f(h) = |2h+3| przecież jak masz wzór np: f(x) = x²+2x+3 to f(a) = a²+2a+3 literka przecież może być dowolna

Basia: teraz muszę kończyć

V.Abel: ok, dzięki