relacje (zwrotna, przeciwzwrotna, symetryczna) kamil: Proszę o pomoc , nie wiem nawet jak się do tego zabrać. Trzeba wskazać czy relacje są (zwrotne, przeciwzwrotne, symetryczne) Sprawdź, które z powyższych własności spełniają następujące relacje: a) R ℂ Z x Z ⋀ ∀x,y ε Z: (x,y) ε R ↔ 3|x − y b) R ℂ N x N ⋀ ∀x,y ε N : (x,y) ε R ↔ 2|x + y

PW: a) zwrotna, (x−x) dzieli się przez 3 dla dowolnej x∊Z ; symetryczna, bo jeśli (x−y) dzieli się przez 3, to i (y−x) dzieli się przez 3.

kamil: a przechodnia?

Janek191: b) zwrotna, x ∊ N ⇒ ( x, x) ∊ R bo 2 I ( x + x) symetryczna , x ,y ∊ N ⇒ ( x, y) ∊ R ∧ ( y, x) ∊ R bo 2 I ( x + y) ⇒ 2 I ( y + x) przechodnia , x,y,z ∊ N ⇒ ( x, y)∊ R ∧ ( y, z) ∊ R ⇒ ( x, z ) ∊ R bo 1) x, y, z − liczby parzyste ⇒ x + y , y + z , x + z − liczby parzyste ( dzielą się przez 2) 2) x, y, z − liczby nieparzyste ⇒ x + y, y + z, x + z − liczby parzyste ( dzielą się przez 2 ) Przypadek, gdy x parzysta i y nieparzysta ( lub odwrotnie) odpada, bo x + y jest liczbą nieparzystą i wtedy x + y ∉ R ( 2 nie jest podzielnikiem sumy x + y )

kamil: 2) x, y, z − liczby nieparzyste ⇒ x + y, y + z, x + z − liczby parzyste ( dzielą się przez 2 ) Przypadek, gdy x parzysta i y nieparzysta ( lub odwrotnie) odpada, bo x + y jest liczbą nieparzystą i wtedy x + y ∉ R ( 2 nie jest podzielnikiem sumy x + y ) To ma zastosowanie do symetrycznej czy przechodniej bo nie zrozumiałem.

PW: Janek191 przecież napisał: odpada (...) i wtedy (x,y)∉ℛ Taka para nie należy do relacji (nie spełnia relacji ℛ) i w ogóle się nad nią nie zastanawiamy. Badamy symetryczność i przechodniość tylko dla takich par, które tę relację spełniają.

Basia: x+x = 2x 2|2x czyli xRx jest zwrotna xRy ⇔ 2|(x+y) ⇔ 2|(y+x) ⇔ yRx jest symetryczna jest przechodnia (to jest dowód oparty na rachunku zdań, ale można trochę inaczej) xRy ∧yRz ⇔ 2|(x+y) ∧ 2|(y+z) ⇔ (x,y są parzyste ∨ x,y są nieparzyste) ∧ (y,z są parzyste ∨ y,z są nieparzyste) ⇔ (x,y parzyste ∧ y,z parzyste) ∨ (x,y parzyste ∧ y,z nieparzyste) ∨ (x,y nieparzyste ∧ y,z parzyste) ∨ (x,y nieparzyste ∧ y,z nieparzyste) ⇒ (x,z parzyste) ∨ sprzeczność ∨ sprzeczność ∨ (x,z nieparzyste) ⇒ x+z parzysta ⇒ xRz

kamil: w zeszycie mam, że taka relacja jest relacja rownowartościową, dlatego nie rozumiem o co chodzi. a) xRy<=>2|x+y xRx<=>2|x+x 2|2x jest zwrotna b) xRy => yRx 2|x+y => yRx 2|x+y =>2|y+x jest symetryczna c) 2|x+y ⋀ 2|y+z => 2|x+z 2|4+2 ⋀ 2|2+6 => 2|4+6 ... 2|3+3 ⋀ 2|5+1 => 2|3+1 .. 2|1+5 ⋀2|5+1 => 2|1+1 .. 2|0+0 ⋀ 2|0+2 <=> 2|0+2 Jest przechodnia Jest to dobrze rowiązane? Z tego co rozumiem to jest zwrotna bo: 2|x+x = 2|2x jest symetryczna bo: 2|x(parzysta)+y(nieparzysta)=>2|y(nieparzysta)+x(parzysta) jest przechodnia bo: 2 jest dzielnikiem bo?

Basia: udowodniłam Ci, że jest przechodnia jest zwrotna, symetryczna i przechodnia czyli jest relacją równoważności

kamil: Czy w zadaniach tego typu mam szukać zawsze kontrprzykładu czy jeżeli udowodnie od razu np. że jest przechodnia lub symetryczna to od razu mam twierdzić , że jest prawdą?

Basia: to kwestia wyczucia i wprawy jeżeli nie umiesz udowodnić to próbuj szukać kontrprzykładu jeżeli nie widzisz kontrprzykładu to próbuj udowodnić nie da się tego ściśle określić

Basia: na podstawie jednej przesłanki nie możesz twierdzić, że to relacja równoważności relacja może być zwrotna i symetryczna, ale nie być przechodnia albo przechodnia, ale nie symetryczna (np. relacja mniejszości) i tak dalej

kamil: mam pytanie dot. relacji 1.Dlaczego relacje εR |a| ≥ |b| jest symetryczna? |3| ≥ |−3| => |−3| ≥ |3| − czy jest to dobry przykład na potwierdzenie tego? 2. Czy w kontrprzykładach w relacji przechodniej (lub innej) mogę użyć tych samych liczb? np. εR x=2 , y=1, z=1 3. W warunkach np. x² +y² = 3xy to w relacji przechodniej jeden z warunków wg wzoru będzie wyglądał y² + z² = 3yz? 4. Jeżeli dowiodę symetrii to jest już ona uznana za symetryczną? Czasami zdarza się kontrprzykład.

Basia: 1. nie jest symetryczna 5R3 bo |5|=5≥|3|=3 ale przecież 3 nie jest w relacji z 5 bo |3| nie jest ≥ |5| 2. tak o ile relacja jest zwrotna 3. tak 4. dowód i kontrprzykład wykluczają się jeżeli uda Ci się zrobić i dowód, i kontrprzykład to na 100%, któryś z nich nie jest poprawny

kamil: Co do pytania numer 4. To dlaczego |3| ≥ |−3| => |−3| ≥ |3| nie jest poprawne? a 5|=5≥|3|=3 jest poprawne? Przecież obie przykłady spełniają relację , czy podstawione przezemnie liczby są nieprawidłowe? a= |3| b=|−3| |3|=3 ≥ |−3|= 3 => |−3|=3 ≥ |−3|=3 Czy po prostu nie mogę podstawić takich ponieważ wartość bezwzględna z tych obu liczb jest taka sama?

kamil: up