geometria zadanie: Niech P(α, β, γ) bedzie polem trójkata wpisanego w okrag o promieniu 1, majacego katy α, β, γ. Czy wtedy a) P(30^o, 60^o, 90^o)<P(20^o, 70^o, 90^o) ? zrobilem tak: korzystajac ze wzoru 2R²*sinα*sinβ*sinγ mam: P(30^o, 60^o, 90^o)=2sin30^o*sin60^o=sin60^o P(20^o, 70^o, 90^o)=2sin20^o*sin70^o=2sin20^o*cos20^o=sin40^o stad sin60^o>sin40^o czyli nierownosc jest nieprawdziwa dobrze? mozna inaczej to zrobic? prosciej?

PW: Prościej: zauważyć, że skoro w obu trójkątach jest kąt o mierze 90°, to oba mają przeciwprostokątną równą średnicy okręgu.. Zauważyć, że pole takiego trójkąta liczone jako

	1
		ch (c − długość przeciwprostokątnej, h − wysokość opuszczona na przeciwprostokątną)
	2

jest funkcją zmiennej α (α − miara jednego z kątów ostrych, załóżmy że α≤β). Określona w ten sposób funkcja P(α), α∊(0,45°) jest rosnąca, a więc P(20°<P(30°). Nie wiem czy to jest prościej. Dla mnie tak, bo im większy α, tym większa wysokość h. Wystarczy narysować. Trójkąty umieścić tak jak jest wygodnie − niech maja wspólną przeciwprostokątną i niech leżą w tym samym półkolu (położenie nie wpływa na pole)

Mila: Wygląda, że dobrze. Możesz inaczej, nie korzystać z tego wzoru, (możesz go zapomnieć) np. obliczyć a i b ( znasz przeciwprostokątną: c=2) Wtedy porównujesz ... dokończ

zadanie: 1 trojkat a=1 b=√3

	√3
P=
	2

2 trojkat a=2sin20^o b=2cos20^o P=2sin20^o*cos20^o=sin40^o wyszlo to samo

PW: A dlaczego założyłeś, że a=1? To nieprawda.

zadanie:

	1
a=2*sin30o=2*		=1
	2

PW: No dobrze, to prowokacja, Ale skąd tak od razu widzisz, że a=1 w pierwszym trójkącie?

PW: Za wolno piszę. Czyli w drugim trójkącie nie da się tak jasno zrealizować pomysłu Mili?

zadanie: mozna to obliczyc tak jak wyzej albo ze zwiazkow w trojkacie o katach 30^o, 60^o, 90^o

zadanie: no dokladnie nie da sie obliczyc dlugosci tych bokow bo nie znam dokladnej wartosci sin20^o i cos20^o

zadanie: a jak bedzie tak: b) P(30^o, 60^o, 90^o)<P(30^o, 50^o, 100^o)

	√3
Pole pierwszego trojkata sie nie zmienia P=sin60o=
	2

a pole drugiego? to juz nie jest trojkat prostokatny obliczajac z tego wzoru na poczatku byloby tak: P₂=sin50^o*sin80^o ale teraz mam problem z porownaniem czy sin60^o<sin50^o*sin80^o ?

PW: No, tu zaczynają się problemy, nie jest to oczywiste.

PW: sin60°>sin50° Popomnożeniu przez dodatnie sin80° sin60°sin80°>sin50°sin80° sin80°<1, więc sin60°>sin60°sin80°>sin50°sin80° takich rzeczy nie ćwiczą w szkole.

zadanie: ok dziekuje

Mila: No,pieknie. Wyprowadź wzór na pole Δ; P_Δ= 2R²*sinα*sinβ*sinγ , gdzie R, α,β,γ to dane jak w pierwszym zadaniu, a trójkąt jest dowolny.

zadanie: ale co pieknie? ze dobrze czy ze zle?

Mila: Rozwiązujesz z PW, to musi być dobrze. Korzystałeś z wzoru, który podałam 15:46, więc wyprowadź, bo łatwo i może się przydać.

zadanie: slyszalem, ze PW jest nauczycielem

zadanie: sprobuje wyprowadzic ten wzor

Mila: Do zobaczenia na forum po 20. Powodzenia . ( skorzystaj z tw. sinusów)

zadanie: wiem wlasnie tez na to wpadlem

zadanie:

zadanie:

	hc
sinβ=		→hc=a*sinβ
	a

Z tw, sinusow:

a
	=2R→a=2Rsinα
sinα

c
	=2R→c=2Rsinγ
sinγ

	1
P=		*c*hc
	2

	1
P=		*2Rsinγ*2Rsinα*sinβ=2R2*sinα*sinβ*sinγ
	2

Mila: